Главная » Математика » Факториал. Теория соединений. Бином Ньютона.

Факториал. Теория соединений. Бином Ньютона.

Бином Ньютона – это название формулы, которая позволяет выписывать разложение алгебраической суммы двух слагаемых произвольной степени. Впервые данная формула была предложена Исааком Ньютоном в 1664-1665 годах.

Давайте подробнее рассмотрим содержание формулы.

Коэффициенты данной формулы в математике называются биномиальными коэффициентами. Если n является целым положительным числом, то все коэффициенты превращаются в ноль, при любом r>n. Именно поэтому разложение содержит исключительно конечное число членов. Во всех остальных случаях (если n – неположительное или нецелое число), разложение содержит бесконечное число членов и представляет собой своеобразный биноминальный (бесконечный) ряд. Что касается условий сходимости биноминального ряда, то впервые они были установлены еще в начале 19 века математиком Н. Абелем. Если n – целое положительное число, то биноминальный коэффициент в формуле бинома будет числом комбинаций из n по r. Если значения n невелики, то коэффициенты можно найти с помощью треугольника Паскаля. В данном треугольнике каждое из чисел равняется сумме соседних чисел, что стоят выше, однако стоит отметить, что это не касается единиц. Для заданного n соответствующая строка треугольник паскаля (n-ая строка), будет давать по порядку коэффициенты биноминального разложения n-й степени. В этом совсем нетрудно убедиться, если, например, n=3 или n=2.

Как видите, бином Ньютона совсем не такой страшный, как кажется в начале, если взглянуть на формулу.

Например: 10!

Факториал. Теория соединений. Бином Ньютона

Определение факториала
1 * 2 * 3 * ... * n = n!
Основное свойство факториала
n! = n * (n - 1)!
Формула Стирлинга (факториалы больших чисел)
n! ≈ (n
e
)n
 
2πn (1 +   1  
12n
+      1     
         2
288n
+ ... )
ln(n!) ≈ (n + 1
2
)ln(n) - n + ln

Теории соединений
Размещения из n по m элементов - соединения, отличающиеся самими элементами или их порядком
Am
n
=      n!     
(n - m)!
= n(n - 1)(n - 2) ... (n - m + 1)
Перестановки - соединения, отличающиеся только порядком элементов
P 
n
= n! = 1 * 2 * 3 * ... * n
P 
n
= An
n
;      0! = 1
Сочетания из n по m элементов - соединения, отличающиеся только самими элементами
Сm
n
=        n!       
m!(n - m)!
= Am
n
= n(n - 1)(n - 2) ... (n - m + 1)
1 * 2 * 3 * ... * m
P 
m
Свойства сочетаний
Cm
n
= Cn - m
n
Cm + 1
n + 1
= Cm
n
+ Cm + 1
n
C0
n
+ C1
n
+ C2
n
+ ... + Cn - 1
n
+ Cn
n
= 2n
 

Бином Ньютона
(a + b)n
 
= an
 
+ C1
n
an - 1
 
b + C2
n
an - 2
 
b2
 
+ ... + Ck
n
an - k
 
bk
 
+ ... + bn
 
C1
n
= n;    C2
n
= n(n - 1)
2
;    Ck
n
=      n!     
(n - k)!k!
Бросок

Проверь удачу, набери 60+

Математический язык отличается от лингвистического языка, как количество отличается от качества.

Константин Кушнер

Новости математики
15.09.2013

30 секунд, не больше!

Ограничения на решебник остаются, однако не больше 30 секунд. С текущим потоком запросов как-нибудь справимся.

10.09.2013

Решение примеров и задач

Постепенно к этим двум страницам обращаются, в основном школьники, нежели студенты. Это хорошо, поскольку те задачи решаются быстро, а времени у меня не так много. Ответы ждите примерно в вечерние часы, от 20 до 23 по МСК на тех же страницах.

Все запросы я проверяю вручную, и если это не спам и написано доходчиво (как в условие задачи Вашего учебника или под диктовку учителя), то я привожу ответ.