Главная » Математика » Числовые ряды

Числовые ряды

Скорее всего, вы не раз видели, что многие задачи в математике приводят к формулам, которые содержат бесконечные суммы.

Именно эти суммы и называются бесконечными рядами, а то, что служит слагаемыми – членами ряда. Многоточие в этих рядах всегда означает то, что число слагаемых бесконечно. Понятное дело, что решение сложных математических задач практически не представляешь в точном виде посредством каких-то простых формул. Именно поэтому, в большинстве случаев, такие решения записывают числовыми рядами. После того, как мы находим решение задачи, то обращаемся к методам теории рядов, которые позволяют нам оценить, сколько же членов ряда необходимо брать для конкретных вычислений или помогает записать ответ в удобно виде.

Однако мы можем рассматривать не только числовые ряды, но и функциональные ряды. Как вы, наверное, догадались, слагаемыми функциональных рядов являются функции. С помощью функциональных рядов можно представить многие функции, но все-таки не все.

Как мы уже говорили, число слагаемых в рядах бесконечно, поэтому их сложение невозможно чисто физически. Именно поэтому нам необходимо определить, что же мы понимаем под таким понятием, как сумма бесконечного ряда. Давайте представим, что делаем операции сложения слагаемых наших рядов на компьютере. Все мы их, конечно же, не сложим, но будем видеть, что сумма все ближе и ближе подходит к какому-то числу. Именно это число и назовем суммой бесконечного ряда.

Стоит помнить о том, что изучение числовых, а также функциональных рядов, является очень важным в курсе математического анализа.

Некоторые конечные числовые ряды

1 + 2 + 3 + ... + (n - 1) + n = n(n + 1)
2
1 + 3 + 5 + ... + (2n - 3) + (2n - 1) = n 2
 
2 + 4 + 6 + ... + (2n - 2) + 2n = n(n + 1)
1 2
 
+ 2 2
 
+ 3 2
 
+ ... + (n - 1) 2
 
+ n 2
 
= n(n + 1)(2n + 1)
6
1 2
 
+ 3 2
 
+ 5 2
 
+ ... + (2n - 1) 2
 
= n
3
(4n 2
 
- 1)
1 3
 
+ 2 3
 
+ 3 3
 
+ ... + (n - 1) 3
 
+ n 3
 
= 1
4
n 2
 
(n + 1) 2
 
1 3
 
+ 3 3
 
+ 5 3
 
+ ... + (2n - 1) 3
 
= n 2
 
(2n 2
 
- 1)
Бросок

Проверь удачу, набери 60+

Между духом и материей посредничает математика.

Хуго Штейнхаус

Новости математики
15.09.2013

30 секунд, не больше!

Ограничения на решебник остаются, однако не больше 30 секунд. С текущим потоком запросов как-нибудь справимся.

10.09.2013

Решение примеров и задач

Постепенно к этим двум страницам обращаются, в основном школьники, нежели студенты. Это хорошо, поскольку те задачи решаются быстро, а времени у меня не так много. Ответы ждите примерно в вечерние часы, от 20 до 23 по МСК на тех же страницах.

Все запросы я проверяю вручную, и если это не спам и написано доходчиво (как в условие задачи Вашего учебника или под диктовку учителя), то я привожу ответ.