Главная » Математика » Дифференциальные уравнения второго порядка

Дифференциальные уравнения второго порядка

Интегрируемые случаи дифференциального уравнения второго порядка:

1) Если    y'' = f(x),
то общее решение    y = dxf(x)dx + C 
1
x + C 
2
 ;

2) Если    y'' = f(y),
то общий интеграл     
 
dy
2f(y)dy + C 
1
= ± (x + C 
2
) ;

3) Если    y'' = f(y'),

то общий интеграл уравнения может быть найден из соотношения
  dp  
f(p)
= x + C 
1
 ,    где y' = p.

Случаи понижения порядка для дифференциального уравнения второго порядка:

1) Если    y'' = f(x, y'),

то, полагая y' = p(x), получаем
 dp 
dx
= f(x, p) ;

2) Если    y'' = f(y, y'),

то, полагая y' = p(y), получаем
P dp 
dy
= f(y, p) .

Общее решение линейного однородного дифференциального
уравнения второго порядка y'' + p(x)y' + q(x)y = 0
y = C 
1
y 
1
+ C 
2
y 
2
 ,
где y 
1
и y 
2
- линейно независимые частные решения.

Общее решение линейного неоднородного дифференциального
уравнения второго порядка y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)
y =
y
+ z ,

где
y
− общее решение соответствующего однородного уравнения,
z - частное решение данного неоднородного уравнения.

Общий вид решений однородного уравнения y'' + py' + qy = 0
(p и q постоянны) в зависимости от корней характеристического уравнения
k2
 
+ pk + q = 0

Характер корней k 
1
и k 
2
характеристического уравнения
Вид общего решения
Корни k 
1
и k 
2
действительные и
различные
y = C 
1
e
k 
1
x
 
+ C 
2
e
k 
2
x
 
Корни равные:
k 
1
= k 
2
y = (C 
1
+ C 
2
x)e
k 
1
x
 
Корни комплексные:
k 
1
= α + iβ ,
k 
2
= α - iβ
y = eαx
 
(C 
1
cos βx + C 
2
sin βx)

Характер частного решения z неоднородного уравнения y'' + py' + qy = f(x)
(p и q постоянны) в зависимости от правой части f(x)
(A, B, C - постоянные неопределенные коэффициенты).

Правая часть f(x)СлучаиЧастное решение
f(x) = aemx
 
(a, m - const)
1) m2
 
+ pm + q ≠ 0,
2) m2
 
+ pm + q = 0.
a) p2
 
- 4q >0,
б) p2
 
- 4q = 0
z = Aemx
 
 ,
z = Axemx
 
 ,
z = Ax2
 
emx
 
 
f(x) = Mcos ωx + Nsin ωx
(M, N, ω - const; ω ≠ 0)
1) p2
 
+ (q - ω2
 
)2
 
≠ 0,
2) p = 0,  q = ω2
 
z = Acox ωx + Bsin ωx  ,
z = x(Acos ωx + Bsin ωx)
f(x) = ax2
 
+ bx + c
(a, b, c - const)
1) q ≠ 0,
2) q = 0, p ≠ 0
z = Ax2
 
+ Bx + C ,
z = x(Ax2
 
+ Bx + C)
Бросок

Проверь удачу, набери 60+

Вопреки математике, деление организмов приводит лишь к умножению числа оных.

Фома Евграфович Топорищев

Новости математики
15.09.2013

30 секунд, не больше!

Ограничения на решебник остаются, однако не больше 30 секунд. С текущим потоком запросов как-нибудь справимся.

10.09.2013

Решение примеров и задач

Постепенно к этим двум страницам обращаются, в основном школьники, нежели студенты. Это хорошо, поскольку те задачи решаются быстро, а времени у меня не так много. Ответы ждите примерно в вечерние часы, от 20 до 23 по МСК на тех же страницах.

Все запросы я проверяю вручную, и если это не спам и написано доходчиво (как в условие задачи Вашего учебника или под диктовку учителя), то я привожу ответ.