Главная » Математика » Дифференциальное исчисление функций двух переменных

Дифференциальное исчисление функций двух переменных

При рассмотрении вопросов в различных областях знания, часто сталкиваются с изучением зависимости между переменными данными, когда числовое значение одной из них определяются полностью значениями другой. К примеру, при изучении физического состояния тела, наблюдать приходится изменение его свойств, когда оно движется от точки к точке. И каждая точка тела задается координатами. Поэтому свойства наблюдаемого тела полностью зависят от значений переменных.

Если совокупности переменных соответствует единственное значение переменной, то это означает, что на множестве задана функция. Если рассматривать дифференциальное исчисление функций двух переменных, то обозначение совокупности чисел производится двумя буквами, как правило, это x и y, интерпретируются в качестве точек координатной плоскости, а область определения функции двух переменных будет отображена в виде множества точек на этой плоскости.

К примеру, область определения функции z=√r2-x2-y2 будет множество точек плоскости, координаты которых будут удовлетворять соотношению х2 + у2≤ r2. Иными словами, это представляет собой круг с радиусом r, а также центром в начале координат. Если соотношение двух точек будет больше радиуса, значит точки по отношению к кругу являются внешними.

Очень часто дифференциальное исчисление функций двух переменных задаются в неявном виде, как уравнение, которое связывает переменные три величины. В таком случае каждая величина рассматривается в качестве неявной функции двух остальных.

Геометрическое изображение функции двух переменных представлено множеством точек в трехмерном пространстве.

Однако на практике дифференциальное исчисление функций двух переменных применяется мало, так как применяют большее количество переменных, расчет производится по аналогичной схеме.

Дифференциальное исчисление функций двух переменных

Частные производные функции z = f(x, y) по переменным x и y
 ∂z 
∂x
=  
lim
Δx → 0
f((x + Δx), y) - f(x, y)
Δx
 ,
 ∂z 
∂y
=  
lim
Δy → 0
f(x, (y + Δy)) - f(x, y)
Δy
 ,

Частные дифференциалы
d 
x
z =  ∂z 
∂x
dx,   d 
y
z =  ∂z 
∂y
dy

Полный дифференциал функции z = f(x, y)
от независимых переменных x и y
dz =  ∂z 
∂x
dx +  ∂z 
∂y
dy
где dx = Δx и dy = Δy.

Малое приращение дифференцируемой функции
Δz ≈  ∂z 
∂x
Δx +  ∂z 
∂y
Δy

Производная функции u = f(x, y) по направлению l,
заданному единичным вектором {cosα, cosβ}
 ∂u 
∂l
=  ∂u 
∂x
cosα +  ∂u 
∂y
cosβ
Бросок

Проверь удачу, набери 60+

Значение синуса в военное время может достигать четырех.

Армейский фольклор

Новости математики
15.09.2013

30 секунд, не больше!

Ограничения на решебник остаются, однако не больше 30 секунд. С текущим потоком запросов как-нибудь справимся.

10.09.2013

Решение примеров и задач

Постепенно к этим двум страницам обращаются, в основном школьники, нежели студенты. Это хорошо, поскольку те задачи решаются быстро, а времени у меня не так много. Ответы ждите примерно в вечерние часы, от 20 до 23 по МСК на тех же страницах.

Все запросы я проверяю вручную, и если это не спам и написано доходчиво (как в условие задачи Вашего учебника или под диктовку учителя), то я привожу ответ.