Главная » Математика » Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Расширением исчисления функций переменной является многомерный анализ, когда происходит дифференциальное исчисление функций нескольких переменных – функции, которые интегрируются и дифференцируются, затрагивают не одну, а несколько переменных.

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных подразумевает проводить следующие типичные операции:

1. Непрерывность и пределы.

Ко многим патологическим и нелогичным результатам, которые не свойственны функции одной переменной, приводит исследование непрерывности и пределов в многомерных пространствах. К примеру, имеются двух переменных скалярные функции, имеющие в области определения точки, которые дают специфический предел при приближении вдоль прямой, а при приближении вдоль параболы дают совершенно иной предел. К нулю функция стремится к нулю при прохождении по любой прямой, которая проходит через начало координат. В связи с тем, что пределы не совпадают по различным траекториям, единого предела не существует.

При стремлении переменных х, функция пределом имеет определенное число. Если предельное значение функции в определенной точке существует и равняется частному значению функции, то такая функция называется непрерывной в данной точке. Если функция непрерывна на множестве точек, то тогда она называется непрерывной на множестве точек.

2. Нахождение частной производной.

Под частная производной нескольких переменных подразумевается производная одной переменной, а константами считаются все остальные переменные.

3. Кратное интегрирование.

На функции многих переменных кратный интеграл расширяет понятие интеграла. Для вычисления объемов и площадей областей в пространстве и плоскости используются интегралы двойные и тройные. Согласно теоремы Тонелли-Фубини, кратный интеграл также может вычислен быть, как повторный интеграл.

Все это позволяет производить дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Частные производные функции u = f(x, y, z...) по переменным x, y, z...
 ∂u 
∂x
=  
lim
Δx → 0
f((x + Δx), y, z...) - f(x, y, z...)
Δx
 ,
 ∂u 
∂y
=  
lim
Δy → 0
f(x, (y + Δy), z...) - f(x, y, z...)
Δy
 ,
 ∂u 
∂z
=  
lim
Δz → 0
f(x, y, (z + Δz), ...) - f(x, y, z...)
Δz
 ,

Полный дифференциал функции u = f(x, y, z...) от независимых переменных x, y, z...
du =  ∂u 
∂x
dx +  ∂u 
∂y
dy +  ∂u 
∂z
dz

Касательная плоскость к поверхности z = f(x, y)
Z - z = p(X - x) + q(Y - y) ,
где X, Y, Z - текущие координаты; x, y, z - координаты точки касания;
p, q - соответствующие значения частных производных ∂z 
∂x
,  ∂z 
∂y

Касательная плоскость к поверхности F(x, y, z) = 0
F'
x
(X - x) + F'
y
(Y - y) + F'
z
(Z - z) = 0

Нормаль к поверхности F(x, y, z) = 0 в точке M(x, y, z)
X - x
F'
x
=
 
Y - y
F'
y
=
 
Z - z
F'
z

Градиент скалярного поля u = f(x, y) есть вектор

grad u
 
=  ∂u 
∂x
,  ∂u 
∂y
,  ∂u 
∂z

Модуль градиента
|grad u| =
( ∂u 
∂x
)2
 
+ ( ∂u 
∂y
)2
 
+ ( ∂u 
∂z
)2
 
Бросок

Проверь удачу, набери 60+

Если тебе трудно сразу понять всю бесконечность, постарайся понять ее хотя бы наполовину.

Славомир Врублевский

Новости математики
15.09.2013

30 секунд, не больше!

Ограничения на решебник остаются, однако не больше 30 секунд. С текущим потоком запросов как-нибудь справимся.

10.09.2013

Решение примеров и задач

Постепенно к этим двум страницам обращаются, в основном школьники, нежели студенты. Это хорошо, поскольку те задачи решаются быстро, а времени у меня не так много. Ответы ждите примерно в вечерние часы, от 20 до 23 по МСК на тех же страницах.

Все запросы я проверяю вручную, и если это не спам и написано доходчиво (как в условие задачи Вашего учебника или под диктовку учителя), то я привожу ответ.