Главная » Математика » Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Расширением исчисления функций переменной является многомерный анализ, когда происходит дифференциальное исчисление функций нескольких переменных – функции, которые интегрируются и дифференцируются, затрагивают не одну, а несколько переменных.

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных подразумевает проводить следующие типичные операции:

1. Непрерывность и пределы.

Ко многим патологическим и нелогичным результатам, которые не свойственны функции одной переменной, приводит исследование непрерывности и пределов в многомерных пространствах. К примеру, имеются двух переменных скалярные функции, имеющие в области определения точки, которые дают специфический предел при приближении вдоль прямой, а при приближении вдоль параболы дают совершенно иной предел. К нулю функция стремится к нулю при прохождении по любой прямой, которая проходит через начало координат. В связи с тем, что пределы не совпадают по различным траекториям, единого предела не существует.

При стремлении переменных х, функция пределом имеет определенное число. Если предельное значение функции в определенной точке существует и равняется частному значению функции, то такая функция называется непрерывной в данной точке. Если функция непрерывна на множестве точек, то тогда она называется непрерывной на множестве точек.

2. Нахождение частной производной.

Под частная производной нескольких переменных подразумевается производная одной переменной, а константами считаются все остальные переменные.

3. Кратное интегрирование.

На функции многих переменных кратный интеграл расширяет понятие интеграла. Для вычисления объемов и площадей областей в пространстве и плоскости используются интегралы двойные и тройные. Согласно теоремы Тонелли-Фубини, кратный интеграл также может вычислен быть, как повторный интеграл.

Все это позволяет производить дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Частные производные функции u = f(x, y, z...) по переменным x, y, z...
 ∂u 
∂x
=  
lim
Δx → 0
f((x + Δx), y, z...) - f(x, y, z...)
Δx
 ,
 ∂u 
∂y
=  
lim
Δy → 0
f(x, (y + Δy), z...) - f(x, y, z...)
Δy
 ,
 ∂u 
∂z
=  
lim
Δz → 0
f(x, y, (z + Δz), ...) - f(x, y, z...)
Δz
 ,

Полный дифференциал функции u = f(x, y, z...) от независимых переменных x, y, z...
du =  ∂u 
∂x
dx +  ∂u 
∂y
dy +  ∂u 
∂z
dz

Касательная плоскость к поверхности z = f(x, y)
Z - z = p(X - x) + q(Y - y) ,
где X, Y, Z - текущие координаты; x, y, z - координаты точки касания;
p, q - соответствующие значения частных производных ∂z 
∂x
,  ∂z 
∂y

Касательная плоскость к поверхности F(x, y, z) = 0
F'
x
(X - x) + F'
y
(Y - y) + F'
z
(Z - z) = 0

Нормаль к поверхности F(x, y, z) = 0 в точке M(x, y, z)
X - x
F'
x
=
 
Y - y
F'
y
=
 
Z - z
F'
z

Градиент скалярного поля u = f(x, y) есть вектор

grad u
 
=  ∂u 
∂x
,  ∂u 
∂y
,  ∂u 
∂z

Модуль градиента
|grad u| =
( ∂u 
∂x
)2
 
+ ( ∂u 
∂y
)2
 
+ ( ∂u 
∂z
)2
 
Бросок

Проверь удачу, набери 60+

Аксиома — это истина, на которую не хватило доказательств.

В. Хмурый

Новости математики
15.09.2013

30 секунд, не больше!

Ограничения на решебник остаются, однако не больше 30 секунд. С текущим потоком запросов как-нибудь справимся.

10.09.2013

Решение примеров и задач

Постепенно к этим двум страницам обращаются, в основном школьники, нежели студенты. Это хорошо, поскольку те задачи решаются быстро, а времени у меня не так много. Ответы ждите примерно в вечерние часы, от 20 до 23 по МСК на тех же страницах.

Все запросы я проверяю вручную, и если это не спам и написано доходчиво (как в условие задачи Вашего учебника или под диктовку учителя), то я привожу ответ.