Главная » Математика » Элементы векторной алгебры

Элементы векторной алгебры

Векторы, с которыми мы сталкивались в школе, приняли новый облик и поделились с нами новыми возможностями.

Элементы векторной алгебры

Сумма векторов
a
 
= {a 
x
, a 
y
, a 
z
} и
b
 
= {b 
x
, b 
y
, b 
z
}

a
 
+
b
 
= {a 
x
+ b 
x
, a 
y
+ b 
y
, a 
z
+ b 
z
}

Свойства сложения

a
 
+
b
 
=
b
 
+
a
 
(
a
 
+
b
 
) +
c
 
=
a
 
+ (
b
 
+
c
 
)
(
a
 
+
0
 
) =
a
 

a
 
+ (-
a
 
) =
0
 
Умножение вектора
a
 
= {a 
x
, a 
y
, a 
z
} на число λ
λ
a
 
= {λa 
x
, λa 
y
, λa 
z
}
Длина вектора
a
 
= {a 
x
, a 
y
, a 
z
}
 
|
a
 
| = a2
x
+ a2
y
+ a2
z
Скалярное произведение векторов
a
 
и
b
 

a
 
*
b
 
= abcosφ ,
где φ = (
a
 
,
b
 
).
Если
a
 
= {a 
x
, a 
y
, a 
z
} и
b
 
= {b 
x
, b 
y
, b 
z
}, то

a
 

b
 
= a 
x
b 
x
+ a 
y
b 
y
+ a 
z
b 
z

Угол между векторами {a 
x
, a 
y
, a 
z
} и {b 
x
, b 
y
, b 
z
}
cosφ
=
a 
x
b 
x
+ a 
y
b 
y
+ a 
z
b 
z
(a2
x
+ a2
y
+ a2
z
)(b2
x
+ b2
y
+ b2
z
)
Векторы
a
 
и
b
 
ортогональны, если
a
 

b
 
= 0.
Векторное произведение векторов
a
 
и
b
 

c
 
=
a
 
x
b
 
 ,
где
c
 

a
 
,
c
 

b
 
и c = absinφ   (φ = (
a
 
,
b
 
)),
причем
a
 
,
b
 
,
c
 
- правая тройка.
Если
a
 
= {a 
x
, a 
y
, a 
z
} и
b
 
= {b 
x
, b 
y
, b 
z
}, то

a
 

b
 
=
i
  
j
  
k
 ,
a 
x
  
a 
y
  
a 
z
b 
x
  
b 
y
  
b 
z
где
i
,
j
и
k
- единичные векторы (орты), направленные
по соответствующим осям координат.

Свойства векторного произведения

a
 
x
a
 
= 0

a
 
x
b
 
= -
b
 
x
a
 

a
 
) x
b
 
= λ(
a
 
x
b
 
)

a
 
x (λ
b
 
) = λ(
a
 
x
b
 
)

a
 
) x (μ
b
 
) = λμ(
a
 
x
b
 
)
(
a
 
+
b
 
) x
c
 
=
a
 
x
c
 
+
b
 
x
c
 

c
 
x (
a
 
+
b
 
) =
c
 
x
a
 
+
c
 
x
b
 
(
a
 
+
b
 
) x (
a
 
-
b
 
) =
a
 
x
a
 
-
a
 
x
b
 
+
b
 
x
a
 
-
b
 
x
b
 

Смешанное произведение

a
 

b
 

c
 
= (
a
 
x
b
 
) *
c
 
представляет собой объем (со знаком) параллелепипеда,
построенного на векторах
a
 
,
b
 
,
c
 

Если
a
 
= {a 
x
, a 
y
, a 
z
},
b
 
= {b 
x
, b 
y
, b 
z
}
и
c
 
= {c 
x
, c 
y
, c 
z
}, то

a
 

b
 

c
 
=
a 
x
  
a 
y
  
a 
z
b 
x
  
b 
y
  
b 
z
c 
x
  
c 
y
  
c 
z

Свойства смешанного произведения

a
 

b
 

c
 
=
b
 

c
 

a
 
=
c
 

a
 

b
 
= -(
b
 

a
 

c
 
) = -(
a
 

c
 

b
 
) = -(
c
 

b
 

a
 
)
(
a
 
+
b
 
)
c
 

d
 
=
a
 

c
 

d
 
+
b
 

c
 

d
 

a
 
)
b
 

c
 
= λ(
a
 

b
 

c
 
)

a
 

a
 

b
 
= 0

Площадь параллелограма, построенного на

a
 
= {a 
x
, a 
y
, a 
z
} и
b
 
= {b 
x
, b 
y
, b 
z
}
 
S =
a 
y
 
a 
z
2
 
+
a 
z
 
a 
x
2
 
+
a 
x
 
a 
y
2
 
b 
y
 
b 
z
b 
z
 
b 
x
b 
x
 
b 
y
Бросок

Проверь удачу, набери 60+

Противоположности в математике сходятся, но очень медленно и неохотно.

Фома Евграфович Топорищев

Новости математики
15.09.2013

30 секунд, не больше!

Ограничения на решебник остаются, однако не больше 30 секунд. С текущим потоком запросов как-нибудь справимся.

10.09.2013

Решение примеров и задач

Постепенно к этим двум страницам обращаются, в основном школьники, нежели студенты. Это хорошо, поскольку те задачи решаются быстро, а времени у меня не так много. Ответы ждите примерно в вечерние часы, от 20 до 23 по МСК на тех же страницах.

Все запросы я проверяю вручную, и если это не спам и написано доходчиво (как в условие задачи Вашего учебника или под диктовку учителя), то я привожу ответ.