Главная » Математика » Комплексные числа

Комплексные числа

Любое комплексное число можно описать как несколько чисел, в составе которых есть действительная часть и мнимая.

Комплексные числа


Вид комплексного числа
z = x + iy
где x, y - действительные числа, i - мнимая единица
i2
 
= -1
Re z = x - действительная часть комплексного числа
Im z = y - мнимая часть комплексного числа

Равенство комплексных чисел
z 
1
= z 
2
  ⇔  Re z 
1
= Re z 
2
  и  Im z 
1
= Im z 
2

Геометрическое изображение комплексных чисел. Точка M(x, y) изображает число x + yi
Модуль комплексного числа
|z| = r = OM = x2
 
+ y2
 
Аргумент комплексного числа
Arg z = arg z + 2πk (k = 0,1,2, ...),
где arg z = φ = ∠NOM =
= arctgy
x
- главное значение аргумента

Тригонометрическая форма записи комплексного числа
x + yi = r(cosφ + isinφ)

Комплексно-сопряженные числа
z = x + iy   и   z = x - iy

Действия с комплексными числами
z 
1
+ z 
2
= (x 
1
+ x 
2
) + i(y 
1
+ y 
2
)
z 
1
- z 
2
= (x 
1
- x 
2
) + i(y 
1
- y 
2
)
z 
1
z 
2
= (x 
1
x 
2
- y 
1
y 
2
) + i(x 
1
y 
2
+ x 
2
y 
1
)
z 
1
z 
2
=
x 
1
x 
2
+ y 
1
y 
2
x2
2
+ y2
2
+ i *
x 
2
y 
1
- x 
1
y 
2
x2
2
+ y2
2
     (z 
2
≠ 0)
В частности, Re z = 1
2
(z + z ),   Im z =   1  
2i
(z - z),   |z|2
 
= zz

Теоремы о модуле и аргументе
|z 
1
+ z 
2
| ≤ |z 
1
| + |z 
2
|
|z 
1
z 
2
| = |z 
1
| |z 
2
|,     Arg z 
1
z 
2
= Arg z 
1
+ Arg z 
2
z 
1
z 
2
=
|z 
1
|
|z 
2
|
,     Arg
z 
1
z 
2
= Arg z 
1
- Arg z 
2
   (z 
2
≠ 0)
|zn
 
| = |z|n
 
,     Arg zn
 
= n Arg z (n - целое)

Корень из комплексного числа
n
 
z = n
 
|z| (cosarg z + 2kπ
n
+ i * sinarg z + 2kπ
n
)    (k = 0,1,2, ... ,n - 1)

Показательная форма записи комплексных чисел
z = r*e
 
,
где r = |z| и φ = Arg z

Формула Эйлера
e
 
= cosφ + i*sinφ

Произведение и частное комплексных чисел
z 
1
z 
2
= r 
1
r 
2
ei(φ
 
 
1
 

 
 
2
 
)
 
= r 
1
r 
2
(cos(φ 
1
+ φ 
2
) + i*sin(φ 
1
+ φ 
2
))
z 
1
z 
2
=
r 
1
r 
2
ei(φ
 
 
1
 

 
 
2
 
)
 
=
r 
1
r 
2
(cos(φ 
1
- φ 
2
) + i*sin(φ 
1
- φ 
2
))    (z 
2
≠ 0)
Бросок

Проверь удачу, набери 60+

Подобно тому, как все искусства тяготеют к музыке, все науки стремятся к математике.

Джордж Сантаяна

Новости математики
15.09.2013

30 секунд, не больше!

Ограничения на решебник остаются, однако не больше 30 секунд. С текущим потоком запросов как-нибудь справимся.

10.09.2013

Решение примеров и задач

Постепенно к этим двум страницам обращаются, в основном школьники, нежели студенты. Это хорошо, поскольку те задачи решаются быстро, а времени у меня не так много. Ответы ждите примерно в вечерние часы, от 20 до 23 по МСК на тех же страницах.

Все запросы я проверяю вручную, и если это не спам и написано доходчиво (как в условие задачи Вашего учебника или под диктовку учителя), то я привожу ответ.