Главная » Математика » Кратный интеграл

Кратный интеграл

Кратный интеграл (многократный интеграл) в математическом анализе называется множество интегралов, которые взяты от переменных d>1. Однако имеется и одна особенность – кратный интеграл представляет собой определенный интеграл, при вычислении которого в результате всегда получается число.

Кратным интеграл можно разбить на подмножества попарно непересекающихся, в также на мелкость разбиения. Такое разбиение называется конечным, если множество также является конечным, а также может быть измеримым, Если множества измеримые (по Жардану).

Кратным интегралом (n-кратным) функции называется число (при его существовании), всегда найдется разбиение множества, а также промежуточных точек, в результате чего всегда будет попадать в окрестность сумма произведений на длину соответствующего отрезка разбиения произведений значений функции в любой промежуточной точке. Данное определение сформировать можно и в интегральной сумме.

Кратным интегралом функции также называют и предел, когда он существует. Берется предел по большинству всех разбиений по последовательности, когда мелкость стремиться к значению 0. Естественно, такое определение отличается от предыдущего, но только используемыми терминами.

В векторном виде интеграл обозначается буквой «G», либо ставят интеграла значок dраз и записывается функция, а также dдифференциалов. Но в современных физических и математических статьях использование многократное повторение знака интеграла не применяется. В настоящее время кратный интервал имеет название интеграла в собственном смысле. Если интеграл n= 1, то кратный интеграл с интегралом Римана совпадает.

Кратные интегралы


Двойной интеграл от функции f(x , y), распространенный на область S
 
S
f(x, y)dS =  
lim
d → 0
n

i = 1
f(x 
i
, y 
i
)ΔS 
i
 ,
где (x 
i
, y 
i
)    ΔS 
i
(i = 1, 2, ..., n),
d - наибольший диаметр ячеек ΔS 
i
.

Если f(x, y) ≥ 0, то двойной интеграл геометрически представляет собой
объем прямого цилиндроида, построенного на основании S
и ограниченного сверху поверхностью z = f(x, y).

Если область интегрирования S стандартна относительно оси Oy и a ≤ x ≤ b,
y 
1
(x) ≤ y ≤ y 
2
(x), где y 
1
(x), y 
2
(x) -
непрерывные функции, то двойной интеграл
в прямоугольных декартовых координатах от непрерывной функции f(x, y) выражается формулой
 
S
f(x, y)dx dy =
b
a
dx
y 
2
(x)
y 
1
(x)
f(x, y)dy

Двойной интеграл в полярных координатах φ и r
 
S
f(x, y)dS =
 
S
f(r cosφ, r sinφ)rdφdr ,
где x = r cosφ,   y = r sinφ

Если область интегрирования S определяется неравенствами
α ≤ β, r 
1
(φ) ≤ r ≤ r 
2
(φ), то
 
S
f(x, y)dS =
β
α
r 
2
(φ)
r 
1
(φ)
r f(r cosφ, r sinφ)dr

Если ρ = ρ(x, y) - поверхностная плотность пластинки S, то масса пластинки
m =
 
S
ρ(x, y)dS =
 
S
ρdx dy

Площадь пластинки
S =
 
S
dS =
 
S
dx dy

Статические моменты пластинки S относительно координатных осей Ox и Oy
S 
x
=
 
S
ρy dS,    S 
y
=
 
S
ρx dS ,
где ρ = ρ(x, y) - поверхностная плотность пластинки S

Координаты центра масс пластинки S определяются формулами
x 
0
=
S 
y
m
 
 , y 
0
=
S 
x
m
 
 ,
где m - масса пластинки.

Моменты инерции пластинки S относительно координатных осей Ox и Oy
I 
x
=
 
S
ρy2
 
dS,    I 
y
=
 
S
ρx2
 
dS ,
где ρ = ρ(x, y) - поверхностная плотность пластинки.

Тройной интеграл от функции f(x, y, z), распросраненный на область V
 
V
f(x, y, z)dV =  
lim
d → 0
n

i = 1
f(x 
i
, y 
i
, z 
i
)ΔV 
i
 ,
где (x 
i
, y 
i
, z 
i
)    ΔV 
i
(i = 1, 2, ..., n),
d - наибольший диаметр ячеек ΔV 
i

Если f(x, y, z) есть плотность в точке (x, y, z), то тройной интеграл
представляет собой массу, заполняющую объем V.
Объем тела
V =
 
V
dV =
 
V
dx dy dz

Если область интегрирования V определяется неравенствами a ≤ x ≤ b,
y 
1
(x) ≤ y ≤ y 
2
(x), z 
1
(x, y) ≤ z ≤ z 
2
(x, y),
где y 
i
(x), z 
i
(x, y) (i = 1, 2) -
непрерывные функции, то тройной интеграл в прямоугольных координатах
от непрерывной функции f(x, y, z) выражается формулой
 
V
f(x, y, z)dx dy dz =
b
a
dx
y 
2
(x)
dy
y 
1
(x)
z 
2
(x. y)
f(x, y, z)dz
z 
1
(x, y)
Бросок

Проверь удачу, набери 60+

Если тебе трудно сразу понять всю бесконечность, постарайся понять ее хотя бы наполовину.

Славомир Врублевский

Новости математики
15.09.2013

30 секунд, не больше!

Ограничения на решебник остаются, однако не больше 30 секунд. С текущим потоком запросов как-нибудь справимся.

10.09.2013

Решение примеров и задач

Постепенно к этим двум страницам обращаются, в основном школьники, нежели студенты. Это хорошо, поскольку те задачи решаются быстро, а времени у меня не так много. Ответы ждите примерно в вечерние часы, от 20 до 23 по МСК на тех же страницах.

Все запросы я проверяю вручную, и если это не спам и написано доходчиво (как в условие задачи Вашего учебника или под диктовку учителя), то я привожу ответ.