Главная » Математика » Кратный интеграл

Кратный интеграл

Кратный интеграл (многократный интеграл) в математическом анализе называется множество интегралов, которые взяты от переменных d>1. Однако имеется и одна особенность – кратный интеграл представляет собой определенный интеграл, при вычислении которого в результате всегда получается число.

Кратным интеграл можно разбить на подмножества попарно непересекающихся, в также на мелкость разбиения. Такое разбиение называется конечным, если множество также является конечным, а также может быть измеримым, Если множества измеримые (по Жардану).

Кратным интегралом (n-кратным) функции называется число (при его существовании), всегда найдется разбиение множества, а также промежуточных точек, в результате чего всегда будет попадать в окрестность сумма произведений на длину соответствующего отрезка разбиения произведений значений функции в любой промежуточной точке. Данное определение сформировать можно и в интегральной сумме.

Кратным интегралом функции также называют и предел, когда он существует. Берется предел по большинству всех разбиений по последовательности, когда мелкость стремиться к значению 0. Естественно, такое определение отличается от предыдущего, но только используемыми терминами.

В векторном виде интеграл обозначается буквой «G», либо ставят интеграла значок dраз и записывается функция, а также dдифференциалов. Но в современных физических и математических статьях использование многократное повторение знака интеграла не применяется. В настоящее время кратный интервал имеет название интеграла в собственном смысле. Если интеграл n= 1, то кратный интеграл с интегралом Римана совпадает.

Кратные интегралы


Двойной интеграл от функции f(x , y), распространенный на область S
 
S
f(x, y)dS =  
lim
d → 0
n

i = 1
f(x 
i
, y 
i
)ΔS 
i
 ,
где (x 
i
, y 
i
)    ΔS 
i
(i = 1, 2, ..., n),
d - наибольший диаметр ячеек ΔS 
i
.

Если f(x, y) ≥ 0, то двойной интеграл геометрически представляет собой
объем прямого цилиндроида, построенного на основании S
и ограниченного сверху поверхностью z = f(x, y).

Если область интегрирования S стандартна относительно оси Oy и a ≤ x ≤ b,
y 
1
(x) ≤ y ≤ y 
2
(x), где y 
1
(x), y 
2
(x) -
непрерывные функции, то двойной интеграл
в прямоугольных декартовых координатах от непрерывной функции f(x, y) выражается формулой
 
S
f(x, y)dx dy =
b
a
dx
y 
2
(x)
y 
1
(x)
f(x, y)dy

Двойной интеграл в полярных координатах φ и r
 
S
f(x, y)dS =
 
S
f(r cosφ, r sinφ)rdφdr ,
где x = r cosφ,   y = r sinφ

Если область интегрирования S определяется неравенствами
α ≤ β, r 
1
(φ) ≤ r ≤ r 
2
(φ), то
 
S
f(x, y)dS =
β
α
r 
2
(φ)
r 
1
(φ)
r f(r cosφ, r sinφ)dr

Если ρ = ρ(x, y) - поверхностная плотность пластинки S, то масса пластинки
m =
 
S
ρ(x, y)dS =
 
S
ρdx dy

Площадь пластинки
S =
 
S
dS =
 
S
dx dy

Статические моменты пластинки S относительно координатных осей Ox и Oy
S 
x
=
 
S
ρy dS,    S 
y
=
 
S
ρx dS ,
где ρ = ρ(x, y) - поверхностная плотность пластинки S

Координаты центра масс пластинки S определяются формулами
x 
0
=
S 
y
m
 
 , y 
0
=
S 
x
m
 
 ,
где m - масса пластинки.

Моменты инерции пластинки S относительно координатных осей Ox и Oy
I 
x
=
 
S
ρy2
 
dS,    I 
y
=
 
S
ρx2
 
dS ,
где ρ = ρ(x, y) - поверхностная плотность пластинки.

Тройной интеграл от функции f(x, y, z), распросраненный на область V
 
V
f(x, y, z)dV =  
lim
d → 0
n

i = 1
f(x 
i
, y 
i
, z 
i
)ΔV 
i
 ,
где (x 
i
, y 
i
, z 
i
)    ΔV 
i
(i = 1, 2, ..., n),
d - наибольший диаметр ячеек ΔV 
i

Если f(x, y, z) есть плотность в точке (x, y, z), то тройной интеграл
представляет собой массу, заполняющую объем V.
Объем тела
V =
 
V
dV =
 
V
dx dy dz

Если область интегрирования V определяется неравенствами a ≤ x ≤ b,
y 
1
(x) ≤ y ≤ y 
2
(x), z 
1
(x, y) ≤ z ≤ z 
2
(x, y),
где y 
i
(x), z 
i
(x, y) (i = 1, 2) -
непрерывные функции, то тройной интеграл в прямоугольных координатах
от непрерывной функции f(x, y, z) выражается формулой
 
V
f(x, y, z)dx dy dz =
b
a
dx
y 
2
(x)
dy
y 
1
(x)
z 
2
(x. y)
f(x, y, z)dz
z 
1
(x, y)
Бросок

Проверь удачу, набери 60+

Квадратные корни наполняют юные умы радикализмом в отношении правил их вычисле-ния.

Фома Евграфович Топорищев

Новости математики
15.09.2013

30 секунд, не больше!

Ограничения на решебник остаются, однако не больше 30 секунд. С текущим потоком запросов как-нибудь справимся.

10.09.2013

Решение примеров и задач

Постепенно к этим двум страницам обращаются, в основном школьники, нежели студенты. Это хорошо, поскольку те задачи решаются быстро, а времени у меня не так много. Ответы ждите примерно в вечерние часы, от 20 до 23 по МСК на тех же страницах.

Все запросы я проверяю вручную, и если это не спам и написано доходчиво (как в условие задачи Вашего учебника или под диктовку учителя), то я привожу ответ.