Главная » Математика » Криволинейные интегралы

Криволинейные интегралы

Криволинейные интегралы можно встретить в физике, рассчитывая работу какого либо действия.

Криволинейные интегралы


Криволинейный интеграл первого рода от непрерывной функции f(x, y),
взятый по кусочно-гладкой кривой K: x = x(t), y = y(t) (t ∈ [α, β])
 
K
f(x, y)ds =
β
α
f(x(t), y(f))
x'2
 
(t) + y'2
 
(t)
|dt|

Если кривая К задана уравнением y = y(x) (a ≤ x ≤ b), то
 
K
f(x, y)ds =
b
a
f(x, y(x))
1 + y'2
 
(x)
dx

Криволинейный интеграл второго рода от пары непрерывных функций X(x, y) , Y(x, y),
взятый по кусочно-гладкому пути K: x = x(t), y = y(t) (t ∈ [α, β])
 
K
X(x, y)dx + Y(x, y)dy =
β
α
(X(x(t), y(t)) x'(t) + Y(x(t), y(t))y')dt

Физически криволинейный интеграл второго рода представляет собой
работу переменной силы F = {X(x, y), Y(x, y)} вдоль пути K

Если путь K задан уравнением y = y(x) (x ∈ [α, β]), то
 
K
X(x, y)dx + Y(x, y)dy =
b
a
(X(x, y(x)) + Y(x, y(x))y'(x))dx

Если выполнено условие
X(x, y)dx + Y(x, y)dy = dU(x, y),
то криволинейный интеграл второго рода не зависит от пути интегрирования К и
 
K
X(x, y)dx + Y(x, y)dy =
= U(x, y)
(x 
2
, y 
2
)
 
(x 
1
, y 
1
)
= U (x 
2
, y 
2
) - U(x 
1
, y 
1
) ,
где (x 
1
, y 
1
) - начальная точка пути, (x 
2
, y 
2
) - конечная точка пути.
Физически этот интеграл представляет собой работу силы, имеющей потенциал U(x, y).
Бросок

Проверь удачу, набери 60+

Вопреки математике, деление организмов приводит лишь к умножению числа оных.

Фома Евграфович Топорищев

Новости математики
15.09.2013

30 секунд, не больше!

Ограничения на решебник остаются, однако не больше 30 секунд. С текущим потоком запросов как-нибудь справимся.

10.09.2013

Решение примеров и задач

Постепенно к этим двум страницам обращаются, в основном школьники, нежели студенты. Это хорошо, поскольку те задачи решаются быстро, а времени у меня не так много. Ответы ждите примерно в вечерние часы, от 20 до 23 по МСК на тех же страницах.

Все запросы я проверяю вручную, и если это не спам и написано доходчиво (как в условие задачи Вашего учебника или под диктовку учителя), то я привожу ответ.