Главная » Математика » Многогранники

Многогранники

Многогранник является поверхностью, которая состоит из нескольких многоугольников, ограничивающих некоторое геометрическое тело. Самые первые упоминания о таких геометрических фигурах, как многогранники, известные издавна, около трех тысяч лет до нашей эры в Вавилоне и Египте. Однако теория многогранников также является и современным разделом математики. Данная теория очень тесно связана с теорией графов, топологией, имеет огромное значение для теоретических исследований, которые проводятся в геометрии, а также для практических приложений в других отраслях математики, например в теории чисел, алгебре и прикладной математике (к которой относятся линейное программирование, а также теории оптимального управления).

Многогранники обладают довольно красивой формой, например звездчатые, полуправильные и правильные многогранники. Также они имеют очень богатую и интересную историю. Многогранники связаны с такими именами ученых, как Евклид, Архимед и Пифагор.

Стоит, конечно же, остановится на удивительных свойствах этих фигур. Самое знаменитое свойство многогранников было сформулировано в теореме Эйлера, которая гласит числе граней, вершин и ребер. Выглядит данная теорема так: Г+В-Р=2, где Р – число ребер, В- число вершин, а Г 9как вы, наверное догадались) – число граней. Интересно, что историки, изучающие математику, называют теорему Эйлера первой теоремой топологии, которая является, на сегодняшний день, крупным разделом математики.

Интерес человека к многогранникам может быть объясним также симметрией, ведь многогранники в неком своем роде можно назвать символами симметрии, которая издавна привлекала внимание древних мыслителей.

Многогранники


Обозначения
     V - объем;
     S 
полн
- площадь полной поверхности;
     S 
бок
- площадь боковой поверхности;
     S 
осн
- площадь основания;
     P 
осн
- периметр основания;
     P 
- периметр перпендикулярного сечения;
     l - длина ребра;
     h - высота.

Призма
     
S 
бок
= P 
l
S 
полн
= 2S 
осн
+ S 
бок
V = S 
осн
h
-прямая призма-
S 
бок
= P 
осн
l
V = S 
осн
l

Параллелипипед
     
S 
полн
= 2(ab + bc + ac)
V = abc
d2
 
= a2
 
+ b2
 
+ c2
 

Куб
     
S 
полн
= 6a2
 
V = a3
 
d2
 
= 3a2
 

Пирамида
     
V =1
3
S 
осн
h

Правильный тетраэдр (основание - равносторонний треугольник)
S 
полн
= a2
 
3
 
V =
a3
 
2
12
 
h = a
2
3

Радиус описанной сферы
R = 3
4
h

Радиус вписанной сферы
r = 1
4
h

Правильная пирамида
S 
бок
= 1
2
P 
осн
k,
где P 
осн
- периметр основания, k - апофема.

Усеченная пирамида
     
V = 1
3
h(S 
1
+ S 
1
S 
2
+ S 
2
),
где S 
1
и S 
2
- площади оснований.
 
S
 
 
бок
 
=
S 
1
- S 
2
,
cosα
где α - двугранный угол при ребре нижнего основания.

Формула Эйлера
N - L + F = 2,
где N - число вершин, L - число ребер, F - число граней выпуклого многогранника.
Бросок

Проверь удачу, набери 60+

Математик свидетельствует о большом, а философ о великом.

Константин Кушнер

Новости математики
15.09.2013

30 секунд, не больше!

Ограничения на решебник остаются, однако не больше 30 секунд. С текущим потоком запросов как-нибудь справимся.

10.09.2013

Решение примеров и задач

Постепенно к этим двум страницам обращаются, в основном школьники, нежели студенты. Это хорошо, поскольку те задачи решаются быстро, а времени у меня не так много. Ответы ждите примерно в вечерние часы, от 20 до 23 по МСК на тех же страницах.

Все запросы я проверяю вручную, и если это не спам и написано доходчиво (как в условие задачи Вашего учебника или под диктовку учителя), то я привожу ответ.