Главная » Математика » Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл от функции – это сумма произвольной постоянной и первообразной для данной функции. Из первообразной функции следует, что неопределенный интеграл – это множество для этой функции всех первообразных. Некоторая первообразная для функции обозначается буквой х, произвольная постоянная обозначается «с», а символом «∫» обозначается сам неопределенный интеграл. Интегрированием функции называется процесс отыскания от функции неопределенного интеграла.

К простейшим свойствам неопределенного интеграла относят:

  • производную от неопределенного интеграла по переменной интегрирования, которая равна подынтегральной функции;
  • от неопределенного интеграла дифференциал равен подынтегральному выражению;
  • от производной от некоторой функции неопределенный интеграл равен сумме произвольной постоянной и данной функции. В результате этого сумма произвольной постоянной и дифференцируемой функции равна неопределенному интегралу от данной функции и от производной;
  • от дифференциала некоторой функции неопределенный интеграл равен сумме постоянной произвольной и данной функции.

Теоремой неопределенного интеграла является следующее:

  • от суммы функций неопределенный интеграл равен сумме от слагаемых неопределенных интегралов;
  • имеющийся постоянный множитель за знак неопределенного интеграла можно выносить. В связи с такой совокупностью равенств, возникло название – свойство линейности неопределенного интеграла. Любое доказательство таких равенств сводится к одному – к определению неопределенного интеграла, а также к соответствующей формуле, содержащейся в таблице производных;
  • возможность замены в неопределенном интеграле переменной;
  • возможность в неопределенном интеграле интегрирования по частям.

Неопределенный интеграл

Определение неопределенного интеграла
f(x)dx = F(x) + C
где F'(x) = f(x),    C = const
Если dy = f(x)dx, то y = f(x)dx

Основные свойства неопределенного интеграла
df(x)dx = f(x)dx
(f(x)dx)' = f(x)
dF(x) = F(x) + C
kf(x)dx = kf(x)dx   (k ≠ 0)
(f(x) + g(x) - h(x))dx = f(x)dx + g(x)dx - h(x)dx

Основные методы интегрирования
---метод разложения---
f(x)dx = f 
1
(x)dx + f 
2
(x)dx ,
где f(x) = f 
1
(x) + f 
2
(x)
---метод подстановки---
Если x = φ(t), то    f(x)dx = f(φ(t))φ'(t)dt
---метод интегрирования по частям---
udV = uV - Vdu

Интегралы некоторых функций
xm
 
dx =
xm + 1
 
m + 1
 
+ C    (m ≠ -1)
dx
x
= ln|x| + C     (x ≠ 0)
ex
 
dx = ex
 
+ C
ax
 
dx =
ax
 
ln(a)
 
+ C    (a > 0, a ≠ 1)
cos(x)dx = sinx + C
sin(x)dx = -cosx + C
 
dx
cos2
 
x
= tgx + C
 
dx
sin2
 
x
= -ctgx + C
 
dx
1 - x2
 
= arcsinx + C = -arccosx + C 
1
 
dx
1 + x2
 
= arctgx + C = -arcctgx + C 
1
 
dx
1 - x2
 
=  1 
2
ln 1 + x 
1 - x
+ C
 
dx
x2
 
- 1
=  1 
2
ln x - 1 
x + 1
+ C
Бросок

Проверь удачу, набери 60+

Начертив квадрат, можно ограничиться его сторонами и слоняться из угла в угол.

Фома Евграфович Топорищев

Новости математики
15.09.2013

30 секунд, не больше!

Ограничения на решебник остаются, однако не больше 30 секунд. С текущим потоком запросов как-нибудь справимся.

10.09.2013

Решение примеров и задач

Постепенно к этим двум страницам обращаются, в основном школьники, нежели студенты. Это хорошо, поскольку те задачи решаются быстро, а времени у меня не так много. Ответы ждите примерно в вечерние часы, от 20 до 23 по МСК на тех же страницах.

Все запросы я проверяю вручную, и если это не спам и написано доходчиво (как в условие задачи Вашего учебника или под диктовку учителя), то я привожу ответ.