Главная » Математика » Определенный интеграл

Определенный интеграл

Определенный интеграл, в отличие от неопределенного, имеет в итоге числовое значение.

Определенный интеграл


Определенный интеграл как предел интегральной суммы
bn - 1
f(x)dx=lim(f(
x
 
i
)Δx 
i
) ,
a
max |Δxi| → 0
i = 0
где
x
 
i
[x 
i
, x 
i + 1
] и Δx 
i
= x 
i + 1
- x 
i

Формула Ньютона - Лейбница: если f(x) непрерывна и F'(x) = f(x), то
b
f(x)dx = F(b) - F(a)
a

Основные свойства определенного интеграла
bb
f(x)dx = f(t)dt
aa
a
f(x)dx = 0
a
ba
f(x)dx = −f(x)dx
ab
cbb
f(x)dx +f(x)dx = f(x)dx
aca
bb
k f(x)dx = kf(x)dx
aa
bbbb
(f(x) + g(x) - h(x))dx = f(x)dx + g(x)dx −h(x)dx
aaaa
x
 d 
dx
f(t)dt = f(x)
a
b
 d 
dx
f(t)dt = −f(x)
x

Теорема о среднем. Если f(x) непрерывна на [a, b], то
b
f(x)dx = (b - a)f(c) ,
a
где a < c < b

Формула интегрирования по частям в определенном интеграле
b
a
u(x)V'(x)dx = u(x)V(x)b
 
 
a
-
b
a
V(x)u'(x)dx

Формула замены переменной в определенном интеграле
φ(β)
φ(α)
f(x)dx =
β
α
f(φ(t))φ'(t)dt

Формула трапеции
b
a
ydx = h( 1 
2
y 
0
+ y 
1
+ ... + y 
n - 1
+  1 
2
y 
n
) ,
где h = b - a 
n
, x 
0
= a и x 
n
= b, y = f(x), y 
i
= f(x 
0
+ ih) (i = 0, 1, 2, ..., n)

Формула Симпсона
b
a
ydx =  h 
3
(y(a) + 4y( a + b 
2
) + y(b)) , где h = 1 
2
(b - a)

Несобственный интеграл
+
a
f(x)dx =  
lim
b → +
b
a
f(x)dx

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной линией
y = f(x) (f(x) ≥ 0), осью Ox и двумя вертикалями x = a и x = b (a < b)
S =
b
a
ydx

Площадь сектора, ограниченного непрерывной линией ρ = f(φ)
(ρ и φ - полярные координаты) и двумя лучами φ = α и φ = β (α < β)
S =  1 
2
β
α
ρ2
 

Длина дуги гладкой кривой y = f(x) в прямоугольных координатах
x и y от точки x = a до точки x = b (a < b)
l =
b
a
1 + y'2
 
dx

Длина дуги гладкой кривой ρ = f(φ) в полярных координатах
ρ и φ от точки φ = α до точки φ = β (α < β)
l =
β
α
ρ2
 
+ ρ'2
 

Длина дуги гладкой кривой x = φ(t), y = ψ(t), заданной параметрически (t 
0
< T)
t =
T
t 
0
x'2
 
+ y'2
 
dt

Объем тела с известным поперечным сечением S(x)
V =
b
a
S(x)dx

Объем тела вращения
-    вокруг оси Ox:   V 
x
= π
b
a
y2
 
dx   (a < b)
-    вокруг оси Oy:   V 
y
= π
d
c
x2
 
dy   (c < d)

Работа переменной силы F = F(x) на участке [a, b]
A =
b
a
F(x)dx
Бросок

Проверь удачу, набери 60+

"Неразрешимые задачи" существуют только в математических задачах, поскольку эти за-дачи не допускают изменений собственных условий.

Константин Кушнер

Новости математики
15.09.2013

30 секунд, не больше!

Ограничения на решебник остаются, однако не больше 30 секунд. С текущим потоком запросов как-нибудь справимся.

10.09.2013

Решение примеров и задач

Постепенно к этим двум страницам обращаются, в основном школьники, нежели студенты. Это хорошо, поскольку те задачи решаются быстро, а времени у меня не так много. Ответы ждите примерно в вечерние часы, от 20 до 23 по МСК на тех же страницах.

Все запросы я проверяю вручную, и если это не спам и написано доходчиво (как в условие задачи Вашего учебника или под диктовку учителя), то я привожу ответ.