Главная » Математика » Правильные многогранники

Правильные многогранники

История правильных многогранников уходит в очень и очень глубокую древность. Правильными многогранниками интересовался еще Пифагор, а также его ученики. Что же такое было в этих фигурах, которые привлекали внимание ученых? Конечно же, в первую очередь, всех поражала их красота, гармония и совершенство. Ученики школы Пифагора считала правильные многогранники божественными фигурами, поэтому и использовали в своих работах по философии следующие обозначения: огонь – тетраэдр, земля – куб, воздух – октаэдр, вода – икосаэдр. Что же касается вселенной, то ей приписывали форму додекаэдра. Несколько позже, учение про правильные многогранники, которые имели популярность в школе Пифагора, изложил в своих работах Платон. Именно поэтому правильные многогранники имеют другое название – Платоновы тела.

В природе существует пять видов правильных многогранников: тетраэдр, куб (гексаэдр), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Наверняка вы зададитесь вопросом, почему же многогранники получили такие имена? На самом деле все довольно просто. Например, гексаэдр имеет 6 граней, «гекса» в переводе с греческого «шесть», а «эдрон» - грань. Тоже касается и других названий.

Так давайте определимся, что же такое правильный многогранник. Правильный многогранник – это, в первую очередь, геометрическая фигура, обычный многогранник, но у которого все грани правильные, многоугольники равные, а двойные углы равны. Однако существуют еще и такие многогранники, у которых все грани правильные, но являются разноименными многогранниками, а многогранные углы равны. Такие многогранники называются равноугольно-полуправильными. Стоит отметить, что есть также, так называемы, звездчатые правильные многогранники, которые еще называются телами Кеплера-Пуансо.

Правильные многогранники


Обозначения
a - ребро многогранника;
V - объем;
S - площадь боковой поверхности;
R - радиус описанной сферы;
r - радиус вписанной сферы;
H - высота.

Тетраэдр
     
S = a2
 
3
 
V =
a3
 
2
12
R =a6
4
r =a6
12
H =a6
3

Куб
     
S = 6a2
 
V = a3
 
R =a3
2
r = a
2
H = a

Октаэдр
     
S = 2a2
 
3
 
V =
a3
 
2
3
R =a2
2
r =a6
6

Додекаэдр
     
 
S = 3a2
 
5(5 + 25)
 
V =
a3
 
(15 + 75)
4
R = a3(1 + 5)
4
 
r = a10(25 + 115)
20

Икосаэдр
     
S = 5a2
 
3
 
V =
5a3
 
(3 + 5)
12
 
R = a2(5 + 5)
4
r = a3(3 + 5)
12
Бросок

Проверь удачу, набери 60+

"Неразрешимые задачи" существуют только в математических задачах, поскольку эти за-дачи не допускают изменений собственных условий.

Константин Кушнер

Новости математики
15.09.2013

30 секунд, не больше!

Ограничения на решебник остаются, однако не больше 30 секунд. С текущим потоком запросов как-нибудь справимся.

10.09.2013

Решение примеров и задач

Постепенно к этим двум страницам обращаются, в основном школьники, нежели студенты. Это хорошо, поскольку те задачи решаются быстро, а времени у меня не так много. Ответы ждите примерно в вечерние часы, от 20 до 23 по МСК на тех же страницах.

Все запросы я проверяю вручную, и если это не спам и написано доходчиво (как в условие задачи Вашего учебника или под диктовку учителя), то я привожу ответ.