Главная » Математика » Правильные многогранники

Правильные многогранники

История правильных многогранников уходит в очень и очень глубокую древность. Правильными многогранниками интересовался еще Пифагор, а также его ученики. Что же такое было в этих фигурах, которые привлекали внимание ученых? Конечно же, в первую очередь, всех поражала их красота, гармония и совершенство. Ученики школы Пифагора считала правильные многогранники божественными фигурами, поэтому и использовали в своих работах по философии следующие обозначения: огонь – тетраэдр, земля – куб, воздух – октаэдр, вода – икосаэдр. Что же касается вселенной, то ей приписывали форму додекаэдра. Несколько позже, учение про правильные многогранники, которые имели популярность в школе Пифагора, изложил в своих работах Платон. Именно поэтому правильные многогранники имеют другое название – Платоновы тела.

В природе существует пять видов правильных многогранников: тетраэдр, куб (гексаэдр), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Наверняка вы зададитесь вопросом, почему же многогранники получили такие имена? На самом деле все довольно просто. Например, гексаэдр имеет 6 граней, «гекса» в переводе с греческого «шесть», а «эдрон» - грань. Тоже касается и других названий.

Так давайте определимся, что же такое правильный многогранник. Правильный многогранник – это, в первую очередь, геометрическая фигура, обычный многогранник, но у которого все грани правильные, многоугольники равные, а двойные углы равны. Однако существуют еще и такие многогранники, у которых все грани правильные, но являются разноименными многогранниками, а многогранные углы равны. Такие многогранники называются равноугольно-полуправильными. Стоит отметить, что есть также, так называемы, звездчатые правильные многогранники, которые еще называются телами Кеплера-Пуансо.

Правильные многогранники


Обозначения
a - ребро многогранника;
V - объем;
S - площадь боковой поверхности;
R - радиус описанной сферы;
r - радиус вписанной сферы;
H - высота.

Тетраэдр
     
S = a2
 
3
 
V =
a3
 
2
12
R =a6
4
r =a6
12
H =a6
3

Куб
     
S = 6a2
 
V = a3
 
R =a3
2
r = a
2
H = a

Октаэдр
     
S = 2a2
 
3
 
V =
a3
 
2
3
R =a2
2
r =a6
6

Додекаэдр
     
 
S = 3a2
 
5(5 + 25)
 
V =
a3
 
(15 + 75)
4
R = a3(1 + 5)
4
 
r = a10(25 + 115)
20

Икосаэдр
     
S = 5a2
 
3
 
V =
5a3
 
(3 + 5)
12
 
R = a2(5 + 5)
4
r = a3(3 + 5)
12
Бросок

Проверь удачу, набери 60+

Леммами называются самостоятельные утверждения, справедливость которых сама по себе никого не беспокоит.

Фома Евграфович Топорищев

Новости математики
15.09.2013

30 секунд, не больше!

Ограничения на решебник остаются, однако не больше 30 секунд. С текущим потоком запросов как-нибудь справимся.

10.09.2013

Решение примеров и задач

Постепенно к этим двум страницам обращаются, в основном школьники, нежели студенты. Это хорошо, поскольку те задачи решаются быстро, а времени у меня не так много. Ответы ждите примерно в вечерние часы, от 20 до 23 по МСК на тех же страницах.

Все запросы я проверяю вручную, и если это не спам и написано доходчиво (как в условие задачи Вашего учебника или под диктовку учителя), то я привожу ответ.