Главная » Математика » Производная и дифференциал

Производная и дифференциал

Дифференциальное исчисление – это раздел математики, который исследует свойства функций, которые заданы на интервалах (сплошных множествах), с помощью определения предела функций.

Свойство непрерывности свидетельствует о том, что точке х0 при малом отклонении аргумента Δx от х0 функция отклоняется мало. В связи с этим, непрерывную функцию в окрестности точки х0, приближенно можно заменить константой, значением в х0. В таком случае, при Δx?0 к нулю стремится абсолютная ошибка приближения. Однако данная аппроксимация не отражает изменения функции при переходе переменной х в точке 0 – убывая или возрастая, медленно или быстро. Для того, чтобы это выяснить и введены производная и дифференциал, которые и дают более точную аппроксимацию функции в окрестности х0 линейной функцией, а не константой. Производная и дифференциал отражает величину и тенденцию изменения в точке х0 функции.

Производная и дифференциал на наглядном примере выглядит так. Возьмем функцию y = f ( x), которая имеет действительные значения и задана на оси R. Внутреннюю точку x0 ε I фиксируем и берем еще любую точку xεI . Приращением независимой переменной в точке х0 является разность Δx = x - x0. Предел разностного отношения, при котором х стремится к х0 называется производной функции f (x) в точке х0.

Функция, для которой возможно разложение, называется дифференцируемой в точке х0. Дифференциалом функции f в точке х0 называется слагаемое f’ (х0)(х-х0). Таким образом, наличие в точке производной эквивалентно и дифференцируемости в этой же точке.

Дифференциал также имеет и специальное обозначение:

df(x0)=dy(x0)= f’ (х0)(х-х0)

Создано дифференциальное исчисление одновременно, а также независимо друг от друга Готфиридом Вильгельмом Лейбницем и Исааком Ньютоном.

Производная и дифференциал

Приращение функции y = f(x), соответствующее приращению Δx аргумента x
Δy = f(x + Δx) - f(x)

Определение производной
y' =  dy 
dx
=  
lim
Δx → 0
 Δy 
Δx
Геометрически y' = f'(x) - угловой коэффициент касательной
к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x

Правила дифференцирования
c' = 0
(cu)' = cu'
(u + v)' = u' + v'
(u - v)' = u' - v'
(uv)' = u'v + uv'
( u 
v
)'
 
=
u'v - uv'
v2
 
y'
x
= y'
z
z'
x
 ,
где y = f(z) и z = φ(x), т.е y = f(φ(x)).
x'
y
=
1
y'
x
 ,
где x'
y
- производная обратной функции

Производные элементарных функций
(xn
 
)' = nxn - 1
 
,    x' = 1
(log 
a
x)' =    1   
xln(a)
(ln(x))' =  1 
x
(ax
 
)' = ax
 
ln(a)
(ex
 
)' = ex
 
(sinx)' = cosx
(cosx)' = - sinx
(tgx)' = sec2
 
x
(ctgx)' = -cosec2
 
x
(arcsinx)' =
 
 
1
1 - x2
 
(arccosx)' = -
 
 
1
1 - x2
 
(arctgx)' =
 
 
1
1 + x2
 
(arcctgx)' = -
 
 
1
1 + x2
 
(secx)' = secx * tgx
(cosecx)' = -cosecx * ctgx
(arcsecx)' =
 
 
1
xx2
 
- 1
(arccosecx)' = -
 
 
1
xx2
 
- 1

Свойства дифференциала
d(af(x)) = a * df(x)
d(f 
1
(x) + f 
2
(x) - f 
3
(x)) = df 
1
(x) + df 
2
(x) - df 
3
(x)
df(x) = f'(x)dx
da = 0   (a = const)
d(ax + b) = Δ(ax + b) = a Δx
dxn
 
= nxn - 1
 
Δx

Дифференциал второго порядка функции y = f(x),
где x - независимая переменная (d2
 
x = 0)
d2
 
y = y''dx2
 

Производные высших порядков некоторых функций
(xm
 
)(n)
 
= m(m - 1)(m - 2)...(m - n + 1)xm - n
 
(ln(x))(n)
 
= (-1)n - 1
 
(n - 1)!
 
1
xn
 
(log 
a
x)(n)
 
= (-1)n - 1
 
 (n - 1)! 
ln(a)
 
1
xn
 
(ekx
 
)(n)
 
= kn
 
ekx
 
(ax
 
)(n)
 
= ln(a)n
 
ax
 
(akx
 
)(n)
 
= (k * ln(a))n
 
akx
 
(sinx)(n)
 
= sin(x +
2
)
(cosx)(n)
 
= cos(x +
2
)

Правило Лопиталя для неопределенностей вида  0 
0
или
 
lim
x → a
 φ(x) 
ψ(x)
=  
lim
x → a
 φ'(x) 
ψ'(x)
 ,
если правый предел существует

Формула Тэйлора с остаточным членом в форме Лагранжа
f(x) = f(x 
0
) +
f'(x 
0
)
1!
 
(x - x 
0
) +
f''(x 
0
)
2!
 
(x - x 
0
)2
 
+ ...
... +
f(n)
 
(x 
0
)
n!
 
(x - x 
0
)n
 
+
f(n + 1)
 
(ξ)
(n + 1)!
 
(x - x 
0
)n + 1
 
 ,
где ξ - такое число, что x 
0
< ξ < x.

Формула Маклорена
f(x) = f(0) +
f'(0)
1!
x +
f''(0)
2!
x2
 
+ ...
... +
f(n)
 
(0)
n!
 
xn
 
+
f(n + 1)
 
(ξ)
(n + 1)!
 
xn + 1
 
 ,
где ξ - такое число, что 0 < ξ < x.
Бросок

Проверь удачу, набери 60+

Мы не можем понять эту формулу, и мы не знаем, что она значит, но мы доказали ее и поэтому знаем, что она должна быть достоверной.

профессор математики

Новости математики
15.09.2013

30 секунд, не больше!

Ограничения на решебник остаются, однако не больше 30 секунд. С текущим потоком запросов как-нибудь справимся.

10.09.2013

Решение примеров и задач

Постепенно к этим двум страницам обращаются, в основном школьники, нежели студенты. Это хорошо, поскольку те задачи решаются быстро, а времени у меня не так много. Ответы ждите примерно в вечерние часы, от 20 до 23 по МСК на тех же страницах.

Все запросы я проверяю вручную, и если это не спам и написано доходчиво (как в условие задачи Вашего учебника или под диктовку учителя), то я привожу ответ.