Главная » Математика » Производная и дифференциал

Производная и дифференциал

Дифференциальное исчисление – это раздел математики, который исследует свойства функций, которые заданы на интервалах (сплошных множествах), с помощью определения предела функций.

Свойство непрерывности свидетельствует о том, что точке х0 при малом отклонении аргумента Δx от х0 функция отклоняется мало. В связи с этим, непрерывную функцию в окрестности точки х0, приближенно можно заменить константой, значением в х0. В таком случае, при Δx?0 к нулю стремится абсолютная ошибка приближения. Однако данная аппроксимация не отражает изменения функции при переходе переменной х в точке 0 – убывая или возрастая, медленно или быстро. Для того, чтобы это выяснить и введены производная и дифференциал, которые и дают более точную аппроксимацию функции в окрестности х0 линейной функцией, а не константой. Производная и дифференциал отражает величину и тенденцию изменения в точке х0 функции.

Производная и дифференциал на наглядном примере выглядит так. Возьмем функцию y = f ( x), которая имеет действительные значения и задана на оси R. Внутреннюю точку x0 ε I фиксируем и берем еще любую точку xεI . Приращением независимой переменной в точке х0 является разность Δx = x - x0. Предел разностного отношения, при котором х стремится к х0 называется производной функции f (x) в точке х0.

Функция, для которой возможно разложение, называется дифференцируемой в точке х0. Дифференциалом функции f в точке х0 называется слагаемое f’ (х0)(х-х0). Таким образом, наличие в точке производной эквивалентно и дифференцируемости в этой же точке.

Дифференциал также имеет и специальное обозначение:

df(x0)=dy(x0)= f’ (х0)(х-х0)

Создано дифференциальное исчисление одновременно, а также независимо друг от друга Готфиридом Вильгельмом Лейбницем и Исааком Ньютоном.

Производная и дифференциал

Приращение функции y = f(x), соответствующее приращению Δx аргумента x
Δy = f(x + Δx) - f(x)

Определение производной
y' =  dy 
dx
=  
lim
Δx → 0
 Δy 
Δx
Геометрически y' = f'(x) - угловой коэффициент касательной
к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x

Правила дифференцирования
c' = 0
(cu)' = cu'
(u + v)' = u' + v'
(u - v)' = u' - v'
(uv)' = u'v + uv'
( u 
v
)'
 
=
u'v - uv'
v2
 
y'
x
= y'
z
z'
x
 ,
где y = f(z) и z = φ(x), т.е y = f(φ(x)).
x'
y
=
1
y'
x
 ,
где x'
y
- производная обратной функции

Производные элементарных функций
(xn
 
)' = nxn - 1
 
,    x' = 1
(log 
a
x)' =    1   
xln(a)
(ln(x))' =  1 
x
(ax
 
)' = ax
 
ln(a)
(ex
 
)' = ex
 
(sinx)' = cosx
(cosx)' = - sinx
(tgx)' = sec2
 
x
(ctgx)' = -cosec2
 
x
(arcsinx)' =
 
 
1
1 - x2
 
(arccosx)' = -
 
 
1
1 - x2
 
(arctgx)' =
 
 
1
1 + x2
 
(arcctgx)' = -
 
 
1
1 + x2
 
(secx)' = secx * tgx
(cosecx)' = -cosecx * ctgx
(arcsecx)' =
 
 
1
xx2
 
- 1
(arccosecx)' = -
 
 
1
xx2
 
- 1

Свойства дифференциала
d(af(x)) = a * df(x)
d(f 
1
(x) + f 
2
(x) - f 
3
(x)) = df 
1
(x) + df 
2
(x) - df 
3
(x)
df(x) = f'(x)dx
da = 0   (a = const)
d(ax + b) = Δ(ax + b) = a Δx
dxn
 
= nxn - 1
 
Δx

Дифференциал второго порядка функции y = f(x),
где x - независимая переменная (d2
 
x = 0)
d2
 
y = y''dx2
 

Производные высших порядков некоторых функций
(xm
 
)(n)
 
= m(m - 1)(m - 2)...(m - n + 1)xm - n
 
(ln(x))(n)
 
= (-1)n - 1
 
(n - 1)!
 
1
xn
 
(log 
a
x)(n)
 
= (-1)n - 1
 
 (n - 1)! 
ln(a)
 
1
xn
 
(ekx
 
)(n)
 
= kn
 
ekx
 
(ax
 
)(n)
 
= ln(a)n
 
ax
 
(akx
 
)(n)
 
= (k * ln(a))n
 
akx
 
(sinx)(n)
 
= sin(x +
2
)
(cosx)(n)
 
= cos(x +
2
)

Правило Лопиталя для неопределенностей вида  0 
0
или
 
lim
x → a
 φ(x) 
ψ(x)
=  
lim
x → a
 φ'(x) 
ψ'(x)
 ,
если правый предел существует

Формула Тэйлора с остаточным членом в форме Лагранжа
f(x) = f(x 
0
) +
f'(x 
0
)
1!
 
(x - x 
0
) +
f''(x 
0
)
2!
 
(x - x 
0
)2
 
+ ...
... +
f(n)
 
(x 
0
)
n!
 
(x - x 
0
)n
 
+
f(n + 1)
 
(ξ)
(n + 1)!
 
(x - x 
0
)n + 1
 
 ,
где ξ - такое число, что x 
0
< ξ < x.

Формула Маклорена
f(x) = f(0) +
f'(0)
1!
x +
f''(0)
2!
x2
 
+ ...
... +
f(n)
 
(0)
n!
 
xn
 
+
f(n + 1)
 
(ξ)
(n + 1)!
 
xn + 1
 
 ,
где ξ - такое число, что 0 < ξ < x.
Бросок

Проверь удачу, набери 60+

Леммами называются самостоятельные утверждения, справедливость которых сама по себе никого не беспокоит.

Фома Евграфович Топорищев

Новости математики
15.09.2013

30 секунд, не больше!

Ограничения на решебник остаются, однако не больше 30 секунд. С текущим потоком запросов как-нибудь справимся.

10.09.2013

Решение примеров и задач

Постепенно к этим двум страницам обращаются, в основном школьники, нежели студенты. Это хорошо, поскольку те задачи решаются быстро, а времени у меня не так много. Ответы ждите примерно в вечерние часы, от 20 до 23 по МСК на тех же страницах.

Все запросы я проверяю вручную, и если это не спам и написано доходчиво (как в условие задачи Вашего учебника или под диктовку учителя), то я привожу ответ.