Главная » Математика » Система уравнений

Система уравнений

Рассмотрим, что же такое система уравнений с двумя переменными, а также равносильные системы уравнений.

Например, нам даны два уравнения, которые имеют две переменные f(x;y) = 0 и g (x;y) = 0.

Решить систему уравнений – это значит найти абсолютно все общие решения двух данных уравнений, которые имеют две переменные. Каждая пара значений данных переменных, которые обращают каждое уравнение нашей системы в верное равенство и будут решением системы уравнений. Проще говоря, решить систему уравнений – это значит найти абсолютно все ее решение, или же доказать, что этих решений не существует.

Уравнения, которые образуют систему, как правило, объединяют фигурной скобкой.

Если две системы уравнений имеют одни и те же решения, то такие системы называются равносильными. Тоже касается и тех систем, которые не имеет решений. Для того, чтобы решить систему уравнений, в большинстве случаев пользуются «способом замены», то есть заменяют данную систему уравнений на более «удобную» или легкую, но, при этом. обязательно равносильную. Что касается возможности такой замены, то она обуславливается двумя теоремами:

  1. Допустим, дана система двух уравнений, которые имеют две переменные. Если оставить одно уравнений системы и не изменять его, а второе уравнение системы заменять равносильными, то мы получим систему, которая будет равносильна данной. Следствием данной теоремы является то, что, если каждое уравнение заданной системы заменять равносильными, то получим систему, которая будет равносильна данной.
  2. Допустим, дана система двух уравнений, которые имеют две переменные. Если оставить одно уравнение системы и не изменять его, а второе уравнение заменить разностью или суммой обоих уравнений системы, то полученная система уравнений будет равносильна данной.

Например: x-2y=10&&2x+y=25

Уравнения и системы уравнений

Решение уравнения первой степени ax = b
x = b
a
(a ≠ 0)
Решение системы двух уравнений первой степени
ax + by = c
dx + ey = f
x = ce - fb (ae - db ≠ 0)
ae - db
y = af - dc
ae - db
либо через определители
x = c    b

f    e
;    y = a    c

d    f
a    b

d    e
a    b

d    e
Формула корней квадратного уравнения
ax2
 
+ bx + c = 0
x 
1,2
= -b ± b2
 
- 4ac
2a
Формула приведенного квадратного уравнения
x2
 
+ px + q = 0
x 
1,2
= -p
2
± 1
2
p2
 
- 4q
ТЕОРЕМА ВИЕТА
для квадратного уравнения
ax2
 
+ bx + c = 0
x 
1
+ x 
2
= -b
a
;    x 
1
* x 
2
= c
a
для приведенного квадратного уравнения
x2
 
+ px + q = 0
x 
1
+ x 
2
= -p;    x 
1
* x 
2
= q
для приведенного кубического уравнения
x3
 
+ px2
 
+ qx + r = 0
x 
1
+ x 
2
+ x 
3
= -p;
x 
1
x 
2
+ x 
2
x 
3
+ x 
1
x 
3
= q;
x 
1
x 
2
x 
3
= -r
Разложение на множители квадратного трехчлена
ax2
 
+ bx + c = a(x - x 
1
)(x - x 
2
)
где x 
1
и x 
2
- корни уравнения ax2
 
+ bx + c = 0
Выделение квадрата двучлена из квадратного трехчлена
ax2
 
+ bx + c = a(x + b 
2a
)2
 
+ 4ac - b
   4a
2
 
 
Решение биквадратного уравнения
ax4
 
+ bx2
 
+ c = 0
 
x 
1,2
= ± -b + b2
 
- 4ac
2a
 
x 
3,4
= ± -b - b2
 
- 4ac
2a
Формула действительного корня
неполного кубического уравнения
y3
 
+ py + q = 0
  
y = 3
 
- q
2
+ q2
 
 
+ p3
 
 
+ 3
 
- q
2
- q2
 
 
+ p3
 
 
427427
Бросок

Проверь удачу, набери 60+

Круглые числа умножаются нулями, прочие же - немалыми усилиями.

Фома Евграфович Топорищев

Новости математики
15.09.2013

30 секунд, не больше!

Ограничения на решебник остаются, однако не больше 30 секунд. С текущим потоком запросов как-нибудь справимся.

10.09.2013

Решение примеров и задач

Постепенно к этим двум страницам обращаются, в основном школьники, нежели студенты. Это хорошо, поскольку те задачи решаются быстро, а времени у меня не так много. Ответы ждите примерно в вечерние часы, от 20 до 23 по МСК на тех же страницах.

Все запросы я проверяю вручную, и если это не спам и написано доходчиво (как в условие задачи Вашего учебника или под диктовку учителя), то я привожу ответ.