Главная » Математика » Сравнение логарифмов

Сравнение логарифмов

Ни для кого не секрет, что с помощью применения логарифмов мы упрощаем довольно много сложных алгебраических операций и не только. Логарифмы дают возможность заменять более сложные операции умножения на операции сложения, деление на вычитание. Согласитесь, ведь это намного проще. Если уже быть совсем точными, то логарифм заданного числа – это показатель степени, в которую нужно возвести другое, также заданное число, чтобы получить данное. На первый взгляд все запутано и непонятно, но это только на первый, на самом деле, все до нельзя просто. Для того, чтобы закреплять знания о логарифмах (да и не только о них), конечно же, рекомендовано после прочтения теории выполнять самостоятельные практические упражнения, это не только поможет усвоить материал, но и выявить все недочеты.

Но вернемся к логарифмам, а точнее к их сравнению. Разумеется, вам в голову может прийти вопрос: «что такое сравнение логарифмов? и как это делается?».

Зачем мы сравниваем логарифмы? Ответ достаточно прост. При решении неравенств и уравнений, довольно часто возникает вопрос, когда нужно определить принадлежность корня области допустимых значений или же сделать соотношение решений двух или более неравенств на числовой прямой, а решение, при этом, выражается иррациональным числом, которое, в свою очередь, записано с помощью логарифма. Вот тут-то нам и необходимо сравнение этих логарифмов.

Существуют несколько способов сравнения логарифмов. Какой из них использовать зависит, в первую очередь, от того, одинаковые основания у логарифмов или нет. Если первый вариант, то тут выход один – использовать монотонность логарифмических функций.

Если числа равные, но основания разные, то тут можно пойти несколькими путями:

  1. Графический способ
  2. Сравнение логарифмов через переход к одному основанию
  3. Метод оценки
  4. введение промежуточного числа
  5. Алгебраические методы, которые, в свою очередь делятся еще на несколько.

Например: log[2,x]>log[4,x]

Сравнение логарифмов

Если 0 < a < 1 и 0 < x  
1
< x  
2
, то
log  
a
x  
1
> log  
a
x  
2
- знак неравенства меняется
Если a > 1 и 0 < x  
1
< x  
2
, то
log  
a
x  
1
< log  
a
x  
2
- знак неравенства не меняется
Если 1 < a < b и x > 1, то log  
a
x > log  
b
x
Если 0 < a < b < 1 и x > 1, то log  
a
x > log  
b
x
Если 1 < a < b и 0 < x < 1, то log  
a
x < log  
b
x
Если 0 < a < b < 1 и 0 < x < 1, то log  
a
x < log  
b
x
Бросок

Проверь удачу, набери 60+

Леммами называются самостоятельные утверждения, справедливость которых сама по себе никого не беспокоит.

Фома Евграфович Топорищев

Новости математики
15.09.2013

30 секунд, не больше!

Ограничения на решебник остаются, однако не больше 30 секунд. С текущим потоком запросов как-нибудь справимся.

10.09.2013

Решение примеров и задач

Постепенно к этим двум страницам обращаются, в основном школьники, нежели студенты. Это хорошо, поскольку те задачи решаются быстро, а времени у меня не так много. Ответы ждите примерно в вечерние часы, от 20 до 23 по МСК на тех же страницах.

Все запросы я проверяю вручную, и если это не спам и написано доходчиво (как в условие задачи Вашего учебника или под диктовку учителя), то я привожу ответ.