Главная » Математика » Степенные ряды

Степенные ряды

Степенные ряды - это числовые ряды, имеющие закономерно меняющиеся степени. Ряд Маклорена является частным случаем ряда Тейлора.

Степенные ряды

Ряд Тейлора
f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) +
f''(a)
2!
 
(x - a)2
 
+ ... +
fn
 
(a)
n!
 
(x - a)n
 
+ ...

Ряд Маклорена
f(x) = f(0) + f'(0)x +
f''(0)
2!
 
x2
 
+ ... +
fn
 
(0)
n!
 
xn
 
+ ...

Разложение в степенные ряды основных функций
   1   
1 - x
= 1 + x + x2
 
+ ... + xn
 
+ ... (|x| < 1)
ln(1 + x) = x −
x2
 
2
 
+
x3
 
3
 
x4
 
4
 
+ ... + (−1)n - 1
 
xn
 
n
 
+ ...   (-1 < x ≤ 1)
ex
 
= 1 + x +
x2
 
2!
 
+
x3
 
3!
 
+ ... +
xn
 
n!
 
+ ... (|x| < + ∞)
ax
 
= 1 + (ln a)x +
(ln a)2
 
2!
 
x2
 
+
(ln a)3
 
3!
 
x3
 
+ ...
ln(x) = 2( x - 1 
x + 1
+  1 
3
( x - 1 
x + 1
)3
 
 
+  1 
5
( x - 1 
x + 1
)5
 
 
+ ... )   (x > 0)
arctgx = x −
x3
 
3
 
+
x5
 
5
 
x7
 
7
 
+ ... + (−1)n - 1
 
x2n - 1
 
2n - 1
 
+ ...    (|x| ≤ 1)
sinx = x −
x3
 
3!
 
+
x5
 
5!
 
x7
 
7!
 
+ ... + (−1)n - 1
 
x2n - 1
 
(2n - 1)!
 
+ ...    (|x| < + ∞)
cosx = 1 −
x2
 
2!
 
+
x4
 
4!
 
x6
 
6!
 
+ ... + (−1)n
 
x2n
 
(2n)!
 
+ ...    (|x| < + ∞)
(1 + x)m
 
= 1 + mx +  m(m - 1) 
2!
x2
 
+ ... +  m(m - 1)...(m - (n - 1)) 
n!
xn
 
+ ...    (|x| < 1)

Ряды в комплексной области


n = 1
(U 
n
+ iV 
n
) =

n = 1
U 
n
+ i

n = 1
V 
n

Абсолютная сходимость рядов с комплексными членами. Если ряд


n = 1
|U 
n
+ iV 
n
| =

n = 1
U2
n
+ V2
n
сходится, то ряд

n = 1
(U 
n
+ iV 
n
) также сходится (абсолютно).

Формулы Эйлера
eix
 
= cosx + i sinx,    e-ix
 
= cosx - i sinx
Бросок

Проверь удачу, набери 60+

Круглые числа умножаются нулями, прочие же - немалыми усилиями.

Фома Евграфович Топорищев

Новости математики
15.09.2013

30 секунд, не больше!

Ограничения на решебник остаются, однако не больше 30 секунд. С текущим потоком запросов как-нибудь справимся.

10.09.2013

Решение примеров и задач

Постепенно к этим двум страницам обращаются, в основном школьники, нежели студенты. Это хорошо, поскольку те задачи решаются быстро, а времени у меня не так много. Ответы ждите примерно в вечерние часы, от 20 до 23 по МСК на тех же страницах.

Все запросы я проверяю вручную, и если это не спам и написано доходчиво (как в условие задачи Вашего учебника или под диктовку учителя), то я привожу ответ.