Главная » Математика » Свойства пределов функции

Свойства пределов функции

Предел функции является в математическом анализе одним из основных понятий. Функция f(x) в точке х0 предел имеет L. Если все значения х достаточно близки к х0, то близко к L и значение f(x).

На бесконечности предел функции описывает поведение значения самой функции, когда аргумент ее становится бесконечно большим.

Предел функции обозначается в виде f(x) → L в случае, если х→а

К основным свойствам пределов функции относят:

  • предел постоянной величины, который равен самой постоянной величины;
  • предел суммы, который равен сумме пределов самих функций. Также по аналогии и предел разности функций равен разности пределов данных функций;
  • предел суммы множества функций равен также сумме пределов таких функций. По аналогии рассчитывает и предел нескольких функций, который равен разности пределов данных функций;
  • повышение предела произведения функции (постоянного коэффициента) на знак предела;
  • произведению пределов функций равен предел произведения двух функций;
  • расширенное свойство предела произведения, которое в том заключается, что предел произведения функций равен и произведению пределов данных функций;
  • предел частного функций равен отношению пределов данных функций, но только в том случае, если предел знаменателя нулю не равен;
  • предел функции степенной, где действительным числом является степень р;
  • предел функции показательной, при которой основание b больше 0;
  • предел функции логарифмической, в которой основание b больше 0;
  • теорема «двух милиционеров», при которой «зажатой» остается функция f(x)между другими двумя функции, которые также стремятся к пределу А.

Все перечисленные свойства пределов позволяют исходный предел функции свести к уже известному, чтобы получить ответ.

Определение и свойства пределов

Число b называется пределом функции f(x) при x → a, если
для любого ε > 0 сущестувует δ > 0 такое, что для любого x
из δ-окрестности a (|x - a| < δ) выполняется |f(x) - f(a)| < ε.
Запись: ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : |x - a| < δ => |f(x) - f(a)| < ε

Обозначение
 
lim
x → a
f(x) = b

Свойства пределов
 
lim
x → a
(f(x) + g(x) - h(x)) =  
lim
x → a
f(x) + 
lim
x → a
g(x) - 
lim
x → a
h(x)
 
lim
x → a
(f(x) * g(x)) =  
lim
x → a
f(x) *  
lim
x → a
g(x)
 
lim
x → a
(cf(x)) = c * 
lim
x → a
f(x)
 
lim
x → a
(f(x)
g(x)
) =
lim
x → a
f(x)
 
lim
x → a
g(x)
 
   ( 
lim
x → a
g(x) ≠ 0)

Замечательные пределы
 
lim
x → 0
sinx
x
= 1
 
lim
x →
(1 +  1 
x
)x
 
=  
lim
α → 0
(1 + α) 1 
α
 
 
= e
e = 2,718281828459045235360287471352662497757...

Связь между десятичными и натуральными логарифмами
lg(x) = M ln(x),
где M = lg(e) = 0,43429448190325182765112891891666...
Бросок

Проверь удачу, набери 60+

Если тебе трудно сразу понять всю бесконечность, постарайся понять ее хотя бы наполовину.

Славомир Врублевский

Новости математики
15.09.2013

30 секунд, не больше!

Ограничения на решебник остаются, однако не больше 30 секунд. С текущим потоком запросов как-нибудь справимся.

10.09.2013

Решение примеров и задач

Постепенно к этим двум страницам обращаются, в основном школьники, нежели студенты. Это хорошо, поскольку те задачи решаются быстро, а времени у меня не так много. Ответы ждите примерно в вечерние часы, от 20 до 23 по МСК на тех же страницах.

Все запросы я проверяю вручную, и если это не спам и написано доходчиво (как в условие задачи Вашего учебника или под диктовку учителя), то я привожу ответ.