Главная » Математика » Свойства пределов функции

Свойства пределов функции

Предел функции является в математическом анализе одним из основных понятий. Функция f(x) в точке х0 предел имеет L. Если все значения х достаточно близки к х0, то близко к L и значение f(x).

На бесконечности предел функции описывает поведение значения самой функции, когда аргумент ее становится бесконечно большим.

Предел функции обозначается в виде f(x) → L в случае, если х→а

К основным свойствам пределов функции относят:

  • предел постоянной величины, который равен самой постоянной величины;
  • предел суммы, который равен сумме пределов самих функций. Также по аналогии и предел разности функций равен разности пределов данных функций;
  • предел суммы множества функций равен также сумме пределов таких функций. По аналогии рассчитывает и предел нескольких функций, который равен разности пределов данных функций;
  • повышение предела произведения функции (постоянного коэффициента) на знак предела;
  • произведению пределов функций равен предел произведения двух функций;
  • расширенное свойство предела произведения, которое в том заключается, что предел произведения функций равен и произведению пределов данных функций;
  • предел частного функций равен отношению пределов данных функций, но только в том случае, если предел знаменателя нулю не равен;
  • предел функции степенной, где действительным числом является степень р;
  • предел функции показательной, при которой основание b больше 0;
  • предел функции логарифмической, в которой основание b больше 0;
  • теорема «двух милиционеров», при которой «зажатой» остается функция f(x)между другими двумя функции, которые также стремятся к пределу А.

Все перечисленные свойства пределов позволяют исходный предел функции свести к уже известному, чтобы получить ответ.

Определение и свойства пределов

Число b называется пределом функции f(x) при x → a, если
для любого ε > 0 сущестувует δ > 0 такое, что для любого x
из δ-окрестности a (|x - a| < δ) выполняется |f(x) - f(a)| < ε.
Запись: ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : |x - a| < δ => |f(x) - f(a)| < ε

Обозначение
 
lim
x → a
f(x) = b

Свойства пределов
 
lim
x → a
(f(x) + g(x) - h(x)) =  
lim
x → a
f(x) + 
lim
x → a
g(x) - 
lim
x → a
h(x)
 
lim
x → a
(f(x) * g(x)) =  
lim
x → a
f(x) *  
lim
x → a
g(x)
 
lim
x → a
(cf(x)) = c * 
lim
x → a
f(x)
 
lim
x → a
(f(x)
g(x)
) =
lim
x → a
f(x)
 
lim
x → a
g(x)
 
   ( 
lim
x → a
g(x) ≠ 0)

Замечательные пределы
 
lim
x → 0
sinx
x
= 1
 
lim
x →
(1 +  1 
x
)x
 
=  
lim
α → 0
(1 + α) 1 
α
 
 
= e
e = 2,718281828459045235360287471352662497757...

Связь между десятичными и натуральными логарифмами
lg(x) = M ln(x),
где M = lg(e) = 0,43429448190325182765112891891666...
Бросок

Проверь удачу, набери 60+

Иные теоремы доказываются, чтобы другим неповадно было, другие же - вопреки всеоб-щему мнению.

Фома Евграфович Топорищев

Новости математики
15.09.2013

30 секунд, не больше!

Ограничения на решебник остаются, однако не больше 30 секунд. С текущим потоком запросов как-нибудь справимся.

10.09.2013

Решение примеров и задач

Постепенно к этим двум страницам обращаются, в основном школьники, нежели студенты. Это хорошо, поскольку те задачи решаются быстро, а времени у меня не так много. Ответы ждите примерно в вечерние часы, от 20 до 23 по МСК на тех же страницах.

Все запросы я проверяю вручную, и если это не спам и написано доходчиво (как в условие задачи Вашего учебника или под диктовку учителя), то я привожу ответ.