Главная » Математика » Таблица неопределенных интегралов

Таблица неопределенных интегралов

Таблица неопределенных интегралов очень удобна тем, кто постоянно сталкивается с вычислением и решением интегралов. Составление списка интегралов впервые опубликовал в 1810 году немецкий математик Мейер Хирш. Данные таблицы в последующем переиздавались и дополнялись. Алгоритм Риша существует с 1968 года, который определяет неопределенные интегралы, которые выражены могут быть в терминах элементарных функций с использованием компьютерной алгебры. Интегралы, которые выразить при помощи элементарных функций не возможно, можно манипулировать символически, используя общие функции.

Таблица неопределенных интегралов также представлена и в Интернете, с которой можно ознакомиться подробнее.

Неопределенные интегралы содержат иррациональные и рациональные выражения. К ним относят следующие интегралы:

  • содержащие ax+b;
  • содержащие квадратный корень из первого интеграла;
  • содержащие px+q и ax+b, а также содержащие из него квадратный корень;
  • содержащие квадратный корень из px+q и квадратный корень из ax+b;
  • содержащие х22, а также содержащие из него квадратный корень;
  • содержащие х22 и содержащие из него квадратный корень;
  • содержащие а22 и содержащие квадратный корень из него;
  • содержащие ax2 + bx + c и квадратный корень из него;
  • содержащие хn + аn либо хn – аn.

Также таблица неопределенных интегралов содержит и интегралы тригонометрических функций: синус, тангенс, косинус, котангенс, косинус и синус и в обратные тригонометрические функции.

Неопределенные интегралы содержат гиперболические функции, которые содержат гиперболический косинус и синус, гиперболический косинус, гиперболический синус, гиперболический тангенс, а также котангенс и обратные гиперболические функции.

Таблица неопределенных интегралов


Функции, содержащие a + bx в целой степени
1)       dx   
a + bx
=  1 
b
ln|a + bx| + C
2)    (a + bx)n
 
dx =
(a + bx)n + 1
 
b(n + 1)
 
+ C ,    n ≠ -1
3)       xdx   
1 + bx
=
 
1
b2
 
(a + bx - a*ln|a + bx|) + C
4)    
x2
 
dx
a + bx
 
=
 
1
b2
 
( 1 
2
(a + bx)2
 
- 2a(a + bx) + a2
 
ln|a + bx|) + C
5)       dx   
x(a + bx)
= - 1 
a
lna + bx
x
+ C
6)    
 
dx
x2
 
(a + bx)
= - 1 
ax
+
 
b
a2
 
lna + bx
x
+ C
7)    
 
xdx
(a + bx)2
 
=
 
1
b2
 
(ln|a + bx| +
a
a + bx
) + C
8)    
x2
 
dx
(a + bx)2
 
=
 
1
b2
 
(a + bx - 2a * ln|a + bx| -
a2
 
a + bx
 
) + C
9)    
 
dx
x(a + bx)2
 
=
1
a(a + bx)
-
 
1
a2
 
lna + bx
x
+ C
10)    
 
dx
x2
 
(a + bx)2
 
= -b(
 
1
a2
 
(a + bx)
+
 
1
a2
 
bx
-
 
2
a3
 
lna + bx
x
) + C
11)    
 
xdx
(a + bx)3
 
=
 
1
b2
 
( -
1
a + bx
+
 
a
2(a + bx)2
 
) + C
12)    
 
dx
x(a + bx)3
 
= -
 
1
a3
 
( lna + bx
x
+
2bx
a + bx
-
b2
 
x2
 
2(a + bx)2
 
) + C

Функции, содержащие a2
 
+ x2
 
, a2
 
- x2
 
, a + bx2
 
1)    
 
dx
1 + x2
 
= arctgx + C
2)    
 
dx
a2
 
+ x2
 
=  1 
a
arctg x 
a
+ C
3)    
 
dx
a2
 
- x2
 
=  1 
2a
ln a + x 
a - x
+ C =  1 
2a
ln x + a 
x - a
+ C
4)    
dx
a + bx2
 
=
 
1
ab
arctg(x b 
a
) + C   при a > 0 и b > 0
Если a и b отрицательны, то знак "−" выносится за интеграл,
а если a и b разных знаков, то использовать следущую формулу (№5)
5)    
 
dx
a - bx2
 
=
1
2ab
ln
a + xb
a − xb
+ C
6)    
 
xdx
a + bx2
 
=
1
2b
lnx2
 
+  a 
b
+ C
7)    
x2
 
dx
a + bx2
 
=  x 
b
-  a 
b
 
dx
a + bx2
 
 , затем см. №4 или №5
8)    
 
dx
x(a + bx2
 
)
=
1
2a
ln
x2
 
a + bx2
 
+ C
9)    
 
dx
x2
 
(a + bx2
 
)
= -
1
ax
-  b 
a
 
dx
a + bx2
 
 , затем см. №4 или №5
10)    
 
dx
(a + bx2
 
)2
 
=
 
x
2a(a + bx2
 
)
+
1
2a
 
dx
a + bx2
 
 , затем см. №4 или №5

Функции, содержащие a + bx
1)    a + bx  dx =
2
3b
(a + bx)3
 
+ C
2)    x
a + bx
 dx = -
2(2a - 3bx)(a + bx)3
 
15b2
 
+ C
3)    x2
 
a + bx
 dx =
2(8a2
 
- 12abx + 3b2
 
x2
 
)(a + bx)3
 
105b3
 
+ C
4)    
xdx
a + bx
= -
 
2(2a - bx)
3b2
 
a + bx
+ C
5)    
x2
 
dx
a + bx
=
2(8a2
 
- 4abx + 3b2
 
x2
 
)a + bx
15b3
 
+ C
6)    
dx
xa + bx
=
1
a
ln
a + bx - a
a + bx + a
+ C , при a > 0
7)    
dx
xa + bx
=
2
-a
arctg
a + bx
-a
+ C , при a < 0
8)    
 
dx
x2
 
a + bx
=
-a + bx
ax
-  b 
2a
dx
xa + bx
 , затем см. №6 или №7
9)    
a + bx dx
x
=
2a + bx
+ a
dx
xa + bx
 , затем см. №6 или №7

Функции, содержащие
x2
 
+ a2
 
1)    
x2
 
+ a2
 
 dx =  x 
2
x2
 
+ a2
 
+  1 
2
a2
 
lnx +
x2
 
+ a2
 
+ C
2)    
(x2
 
+ a2
 
)3
 
 dx =  x 
8
(2x2
 
+ 5a2
 
)
x2
 
+ a2
 
+  3 
8
a4
 
lnx +
x2
 
+ a2
 
+ C
3)    x
x2
 
+ a2
 
 dx =  1 
3
(x2
 
+ a2
 
)3
 
+ C
4)    x2
 
x2
 
+ a2
 
 dx =  x 
8
(2x2
 
+ a2
 
)
x2
 
+ a2
 
-  1 
8
a4
 
lnx +
x2
 
+ a2
 
+ C
5)    
 
dx
x2
 
+ a2
 
= lnx +
x2
 
+ a2
 
+ C
6)    
 
dx
(x2
 
+ a2
 
)3
 
=
 
x
a2
 
x2
 
+ a2
 
+ C
 
7)    
 
xdx
x2
 
+ a2
 
=
x2
 
+ a2
 
+ C
8)    
x2
 
dx
x2
 
+ a2
 
=  x 
2
x2
 
+ a2
 
-  1 
2
a2
 
lnx +
x2
 
+ a2
 
+ C
9)    
x2
 
dx
(x2
 
+ a2
 
)3
 
= −
 
x
x2
 
+ a2
 
+ lnx +
x2
 
+ a2
 
+ C
10)    
 
dx
x
x2
 
+ a2
 
=  1 
a
ln
x
a +
x2
 
+ a2
 
+ C
11)    
 
dx
x2
 
x2
 
+ a2
 
= −
x2
 
+ a2
 
a2
 
x
+ C
12)    
 
dx
x3
 
x2
 
+ a2
 
= −
x2
 
+ a2
 
2a2
 
x2
 
+
 
1
2a3
 
ln
a +
x2
 
+ a2
 
x
+ C
13)    
x2
 
+ a2
 
dx
x
=
x2
 
+ a2
 
- aln
a +
x2
 
+ a2
 
x
+ C
14)    
x2
 
+ a2
 
dx
x2
 
= − 1 
x
x2
 
+ a2
 
+ lnx +
x2
 
+ a2
 
+ C

Функции, содержащие
a2
 
- x2
 
1)    
 
dx
1 - x2
 
= arcsinx + C
2)    
 
dx
a2
 
- x2
 
= arcsin x 
a
+ C
3)    
 
dx
(a2
 
- x2
 
)3
 
=
 
 
x
a2
 
a2
 
- x2
 
+ C
4)    
 
xdx
a2
 
- x2
 
= −
a2
 
- x2
 
+ C
5)    
 
xdx
(a2
 
- x2
 
)3
 
=
 
 
1
a2
 
- x2
 
+ C
6)    
x2
 
dx
a2
 
- x2
 
= − x 
2
a2
 
- x2
 
+  1 
2
a2
 
arcsin x 
a
+ C
7)    
a2
 
- x2
 
dx =  x 
2
a2
 
- x2
 
+  1 
2
a2
 
arcsin x 
a
+ C
8)    
(a2
 
- x2
 
)3
 
dx =  x 
8
(5a2
 
- 2x2
 
)
a2
 
- x2
 
+  3 
8
a4
 
arcsin x 
a
+ C
9)    x
a2
 
- x2
 
dx = − 1 
3
(a2
 
- x2
 
)3
 
+ C
10)    x
(a2
 
- x2
 
)3
 
dx = − 1 
5
(a2
 
- x2
 
)5
 
+ C
11)    x2
 
a2
 
- x2
 
dx =  x 
8
(2x2
 
- a2
 
)
a2
 
- x2
 
+  1 
8
a4
 
arcsin x 
a
+ C
12)    
x2
 
dx
(a2
 
- x2
 
)3
 
=
 
x
a2
 
- x2
 
- arcsin x 
a
+ C
13)    
 
dx
x
a2
 
- x2
 
=  1 
a
ln
x
a +
a2
 
- x2
 
+ C
14)    
 
dx
x2
 
a2
 
- x2
 
= −
a2
 
- x2
 
a2
 
x
+ C
15)    
 
dx
x3
 
a2
 
- x2
 
= −
a2
 
- x2
 
2a2
 
x2
 
+
 
1
2a3
 
ln
x
a +
a2
 
- x2
 
+ C
16)    
a2
 
- x2
 
dx
x
=
a2
 
- x2
 
- aln
a +
a2
 
- x2
 
x
+ C
17)    
a2
 
- x2
 
dx
x2
 
= − 1 
x
a2
 
- x2
 
- arcsin x 
a
+ C

Функции, содержащие
x2
 
- a2
 
1)    
 
dx
x2
 
- a2
 
= lnx +
x2
 
- a2
 
+ C
2)    
 
dx
(x2
 
- a2
 
)3
 
= −
 
 
x
a2
 
x2
 
- a2
 
+ C
3)    
 
xdx
x2
 
- a2
 
=
x2
 
- a2
 
+ C
4)    
x2
 
- a2
 
 dx =  x 
2
x2
 
- a2
 
-  1 
2
a2
 
lnx +
x2
 
- a2
 
+ C
5)    
(x2
 
- a2
 
)3
 
 dx =  x 
8
(2x2
 
- 5a2
 
)
x2
 
- a2
 
+  3 
8
a4
 
lnx +
x2
 
- a2
 
+ C
6)    x
x2
 
- a2
 
 dx =  1 
3
(x2
 
- a2
 
)3
 
+ C
7)    x
(x2
 
- a2
 
)3
 
 dx =  1 
5
(x2
 
- a2
 
)5
 
+ C
8)    x2
 
x2
 
- a2
 
 dx =  x 
8
(2x2
 
- a2
 
)
x2
 
- a2
 
-  1 
8
a4
 
lnx +
x2
 
- a2
 
+ C
9)    
x2
 
dx
x2
 
- a2
 
=  x 
2
x2
 
- a2
 
+  1 
2
a2
 
lnx +
x2
 
- a2
 
+ C
10)    
x2
 
dx
(x2
 
- a2
 
)3
 
= −
 
x
x2
 
- a2
 
+ lnx +
x2
 
- a2
 
+ C
11)    
 
dx
x
x2
 
- 1
= arcsecx + C
12)    
 
dx
x
x2
 
- a2
 
=  1 
a
arcsec x 
a
+ C
13)    
 
dx
x2
 
x2
 
- a2
 
=
x2
 
- a2
 
a2
 
x
+ C
14)    
 
dx
x3
 
x2
 
- a2
 
=
x2
 
- a2
 
2a2
 
x2
 
+
 
1
2a3
 
arcsec x 
a
+ C
15)    
x2
 
- a2
 
dx
x
=
x2
 
- a2
 
- a*arccos a 
x
+ C
16)    
x2
 
- a2
 
dx
x2
 
= − 1 
x
x2
 
- a2
 
+ lnx +
x2
 
- a2
 
+ C

Функции, содержащие
2ax - x2
 
,
2ax + x2
 
Функция, содержащая
2ax - x2
 
интегрируется подстановкой t = x - a.
Тогда
2ax - x2
 
получает вид
a2
 
- t2
 
, и интеграл находят в группе
для функций, содержащих
a2
 
- x2
 
. Если его в таблице нет,
то стараются привести его к виду, имеющемуся в таблице.
То же можно сказать и о функции, содержащей выражение
2ax - x2
 
.
В этом случае подстановка t = x + a приводит радикал к виду
t2
 
- a2
 

Функции, содержащие a + bx + cx2
 
  (c > 0)
1)    
 
dx
a + bx + cx2
 
=
2
4ac - b2
 
arctg
2cx + b
4ac - b2
 
+ C , если b2
 
< 4ac
1
b2
 
- 4ac
ln
2cx + b −
b2
 
- 4ac
2cx + b +
b2
 
- 4ac
+ C , если b2
 
> 4ac
2)    
 
dx
a + bx + cx2
 
=
1
c
ln2cx + b + 2
c
a + bx + cx2
 
+ C
3)    
a + bx + cx2
 
dx =
2cx + b
4c
a + bx + cx2
 
b2
 
- 4ac
8
c3
 
ln2cx + b + 2
c
a + bx + cx2
 
+ C
4)    
 
xdx
a + bx + cx2
 
=
a + bx + cx2
 
c
 
 
b
2
c3
 
ln2cx + b + 2
c
a + bx + cx2
 
+ C

Функции, содержащие a + bx - cx2
 
  (c > 0)
1)    
 
dx
a + bx - cx2
 
=
 
1
b2
 
+ 4ac
ln
b2
 
+ 4ac
+ 2cx - b
b2
 
+ 4ac
- 2cx + b
+ C
2)    
 
dx
a + bx - cx2
 
=
1
c
arcsin
 
2cx - b
b2
 
+ 4ac
+ C
3)    
a + bx - cx2
 
dx =
2cx - b
4c
a + bx - cx2
 
+
b2
 
+ 4ac
8
c3
 
arcsin
 
2cx - b
b2
 
+ 4ac
+ C
4)    
 
xdx
a + bx - cx2
 
= −
a + bx - cx2
 
c
 
+
 
b
2
c3
 
arcsin
 
2cx - b
b2
 
+ 4ac
+ C

Другие алгебраические функции
1)     a + x 
b + x
dx =
(a + x)(b + x)
+ (a - b)ln
a + x
+
b + x
+ C
2)     a - x 
b + x
dx =
(a - x)(b + x)
+ (a + b)arcsin x + b 
a + b
+ C
3)     a + x 
b - x
dx = −
(a + x)(b - x)
- (a + b)arcsin b - x 
a + b
+ C
4)     1 + x 
1 - x
dx = −
1 - x2
 
+ arcsinx + C
5)    
dx
(x - a)(b - x)
= 2arcsin x - a 
b - a
+ C

Показательные и тригонометрические функции
1)    ax
 
dx =
ax
 
ln(a)
 
+ C
2)    ex
 
dx = ex
 
+ C
3)    eax
 
dx =
eax
 
a
 
+ C
4)    sinx dx = -cosx + C
5)    cosx dx = sinx + C
6)    tgx dx = -ln|cosx| + C
7)    ctgx dx = ln|sinx| + C
8)    secx dx = ln|secx + tgx| + C = lntg( π 
4
+  x 
2
) + C
9)    cosecx dx = ln|cosecx - ctgx| + C = lntg x 
2
+ C
10)    sec2
 
x dx = tgx + C
11)    cosec2
 
x dx = -ctgx + C
12)    secx*tgx dx = secx + C
13)    cosecx*ctgx dx = -cosecx + C
14)    sin2
 
x dx =  x 
2
-  1 
4
sin2x + C
15)    cos2
 
x dx =  x 
2
+  1 
4
sin2x + C
16)    sinn
 
x dx = −
sinn - 1
 
x * cosx
n
 
+  n - 1 
n
sinn - 2
 
x dx
Эта формула применяется несколько раз, пока не приведет к интегралу
sinx dx или sin2
 
x dx(в зависимости от n, четное или нечетное), затем №4 или №14.
17)    cosn
 
x dx =
cosn - 1
 
x * sinx
n
 
+  n - 1 
n
cosn - 2
 
x dx
Аналогично предыдущему интегралу, затем №5 или №15.
18)    
 
dx
sinn
 
x
= −   1   
n - 1
 
cosx
sinn - 1
 
x
+  n - 2 
n - 1
 
dx
sinn - 2
 
x
Эта формула применяется несколько раз, пока не приведет к интегралу
dx или    dx   
sinx
(в зависимости от n, четное или нечетное), затем №9.
19)    
 
dx
cosn
 
x
=    1   
n - 1
 
sinx
cosn - 1
 
x
+  n - 2 
n - 1
 
dx
cosn - 2
 
x
Аналогично предыдущему интегралу, затем №8.
20)    sinx * cosn
 
x dx = −
cosn + 1
 
x
n + 1
 
+ C
21)    sinn
 
x * cosx dx =
sinn + 1
 
x
n + 1
 
+ C
22)    sinn
 
x * cosm
 
x dx =
cosm - 1
 
x * sinm + 1
 
x
m + n
 
+  m - 1 
m + n
sinn
 
x * cosm - 2
 
x dx
Применяется несколько раз, пока степень косинуса не будет равна нулю (если m - четное)
или единице (если m - нечетное). В первом случае см.№16, во втором - №21.
Этой формулой следует пользоваться, когда m < n. Если m > n, то лучше пользоваться №23.
23)    sinn
 
x * cosm
 
x dx = −
cosm + 1
 
x * sinn - 1
 
x
m + n
 
+  n - 1 
m + n
sinn - 2
 
x * cosm
 
x dx
Аналогично предыдущему интегралу, затем №17 и №20.
24)    sin(mx)sin(nx)dx = − sin(m + n)x 
2(m + n)
+  sin(m - n)x 
2(m - n)
+ C ,   (m ≠ n).
25)    cos(mx)cos(nx)dx =  sin(m + n)x 
2(m + n)
+  sin(m - n)x 
2(m - n)
+ C ,   (m ≠ n).
26)    sin(mx)cos(nx)dx = − cos(m + n)x 
2(m + n)
 cos(m - n)x 
2(m - n)
+ C ,   (m ≠ n).
27)    
dx
a + bcosx
=
 
2
a2
 
- b2
 
arctg(
 a - b 
a + b
tg x 
2
) + C , если a > b
28)    
dx
a + bcosx
=
 
1
b2
 
- a2
 
ln
b - atg x 
2
+ b + a
b - atg x 
2
b + a
+ C , если a < b
29)    
dx
a + bsinx
=
 
2
a2
 
- b2
 
arctg
a tg x 
2
+ b
a2
 
- b2
 
+ C , если a > b
30)    
dx
a + bsinx
=
 
1
b2
 
- a2
 
ln
a tg x 
2
+ b -
b2
 
- a2
 
a tg x 
2
+ b +
b2
 
- a2
 
+ C , если a < b
31)    
 
dx
a2
 
cos2
 
x + b2
 
sin2
 
x
=  1 
ab
arctg( b tgx 
a
) + C
32)    ex
 
sinx dx =
ex
 
(sinx - cosx)
2
 
+ C
33)    eax
 
sin(nx) dx =
eax
 
(a sin(nx) - n cos(nx))
a2
 
+ n2
 
+ C
34)    ex
 
cosx dx =
ex
 
(sinx + cosx)
2
 
+ C
35)    eax
 
cos(nx) dx =
eax
 
(n sin(nx) + a cos(nx))
a2
 
+ n2
 
+ C
36)    x eax
 
dx =
eax
 
a2
 
(ax - 1) + C
37)    xn
 
eax
 
dx =
xn
 
eax
 
a
-  n 
a
xn - 1
 
eax
 
dx
Формула применяется несколько раз, пока степень х не станет равной единице, затем см. №36
38)    x amx
 
dx =
x amx
 
m ln|x|
-
amx
 
m ln2
 
a
+ C
39)    xn
 
amx
 
dx =
xn
 
amx
 
n ln(a)
-    n   
m ln(a)
xn - 1
 
amx
 
dx
Формула применяется несколько раз, пока степень х не станет равной единице, затем см. №38
40)    eax
 
cosn
 
dx =
eax
 
cosn - 1
 
x(a cosx + n sinx)
a2
 
+ n2
 
+
 
n(n - 1)
a2
 
+ n2
 
eax
 
cosn - 2
 
dx
Формула применяется несколько раз, пока косинус не исчезнет (если четное n)
или его степень не станет равной единице (если нечетное n), затем см. №35
41)    sh x dx = ch x + C
42)    ch x dx = sh x + C
43)    th x dx = ln|ch x| + C
44)    cth x dx = ln|sh x| + C
45)    sch x dx = 2arctg ex
 
+ C
46)    csch x dx = ln|th x 
2
| + C
47)    sch2
 
x dx = th x + C
48)    csch2
 
x dx = -cth x + C
49)    sch x th x dx = sch x + C
50)    csch x cth x dx = -csch x + C
51)    sh2
 
x dx = − x 
2
+  1 
4
sh2x + C
52)    ch2
 
x dx =  x 
2
+  1 
4
sh2x + C

Логарифмические функции
Даются функции, содержащие только натуральный логарифм. Если требуется найти
интеграл от функции, содержащей логарифм при другом основании,
то предварительно переводят его в натуральный по формуле
log 
a
x =  ln(x) 
ln(a)
, а затем пользуются таблицей.
1)    ln(x)dx = x ln(x) - x + C
2)    
dx
x ln(x)
= ln|ln(x)| + C
3)    xn
 
ln(x)dx = xn + 1
 
(  ln(x)  
n + 1
 
1
(n + 1)2
 
) + C
4)    lnn
 
(x)dx = x lnn
 
(x) - nlnn - 1
 
(x)dx
Формулу применять до тех пор, пока не получится интеграл ln(x)dx, затем №1
5)    xm
 
lnn
 
(x)dx =
xm + 1
 
m + 1
 
lnn
 
(x) -    n   
m + 1
xm
 
lnn - 1
 
(x)dx
Формулу применять до тех пор, пока не получится интеграл №3
Бросок

Проверь удачу, набери 60+

Математика - то единственное, что уравнивает человека с Богом!

Фома Евграфович Топорищев

Новости математики
15.09.2013

30 секунд, не больше!

Ограничения на решебник остаются, однако не больше 30 секунд. С текущим потоком запросов как-нибудь справимся.

10.09.2013

Решение примеров и задач

Постепенно к этим двум страницам обращаются, в основном школьники, нежели студенты. Это хорошо, поскольку те задачи решаются быстро, а времени у меня не так много. Ответы ждите примерно в вечерние часы, от 20 до 23 по МСК на тех же страницах.

Все запросы я проверяю вручную, и если это не спам и написано доходчиво (как в условие задачи Вашего учебника или под диктовку учителя), то я привожу ответ.