Главная » Математика » Таблица неопределенных интегралов

Таблица неопределенных интегралов

Таблица неопределенных интегралов очень удобна тем, кто постоянно сталкивается с вычислением и решением интегралов. Составление списка интегралов впервые опубликовал в 1810 году немецкий математик Мейер Хирш. Данные таблицы в последующем переиздавались и дополнялись. Алгоритм Риша существует с 1968 года, который определяет неопределенные интегралы, которые выражены могут быть в терминах элементарных функций с использованием компьютерной алгебры. Интегралы, которые выразить при помощи элементарных функций не возможно, можно манипулировать символически, используя общие функции.

Таблица неопределенных интегралов также представлена и в Интернете, с которой можно ознакомиться подробнее.

Неопределенные интегралы содержат иррациональные и рациональные выражения. К ним относят следующие интегралы:

  • содержащие ax+b;
  • содержащие квадратный корень из первого интеграла;
  • содержащие px+q и ax+b, а также содержащие из него квадратный корень;
  • содержащие квадратный корень из px+q и квадратный корень из ax+b;
  • содержащие х22, а также содержащие из него квадратный корень;
  • содержащие х22 и содержащие из него квадратный корень;
  • содержащие а22 и содержащие квадратный корень из него;
  • содержащие ax2 + bx + c и квадратный корень из него;
  • содержащие хn + аn либо хn – аn.

Также таблица неопределенных интегралов содержит и интегралы тригонометрических функций: синус, тангенс, косинус, котангенс, косинус и синус и в обратные тригонометрические функции.

Неопределенные интегралы содержат гиперболические функции, которые содержат гиперболический косинус и синус, гиперболический косинус, гиперболический синус, гиперболический тангенс, а также котангенс и обратные гиперболические функции.

Таблица неопределенных интегралов


Функции, содержащие a + bx в целой степени
1)       dx   
a + bx
=  1 
b
ln|a + bx| + C
2)    (a + bx)n
 
dx =
(a + bx)n + 1
 
b(n + 1)
 
+ C ,    n ≠ -1
3)       xdx   
1 + bx
=
 
1
b2
 
(a + bx - a*ln|a + bx|) + C
4)    
x2
 
dx
a + bx
 
=
 
1
b2
 
( 1 
2
(a + bx)2
 
- 2a(a + bx) + a2
 
ln|a + bx|) + C
5)       dx   
x(a + bx)
= - 1 
a
lna + bx
x
+ C
6)    
 
dx
x2
 
(a + bx)
= - 1 
ax
+
 
b
a2
 
lna + bx
x
+ C
7)    
 
xdx
(a + bx)2
 
=
 
1
b2
 
(ln|a + bx| +
a
a + bx
) + C
8)    
x2
 
dx
(a + bx)2
 
=
 
1
b2
 
(a + bx - 2a * ln|a + bx| -
a2
 
a + bx
 
) + C
9)    
 
dx
x(a + bx)2
 
=
1
a(a + bx)
-
 
1
a2
 
lna + bx
x
+ C
10)    
 
dx
x2
 
(a + bx)2
 
= -b(
 
1
a2
 
(a + bx)
+
 
1
a2
 
bx
-
 
2
a3
 
lna + bx
x
) + C
11)    
 
xdx
(a + bx)3
 
=
 
1
b2
 
( -
1
a + bx
+
 
a
2(a + bx)2
 
) + C
12)    
 
dx
x(a + bx)3
 
= -
 
1
a3
 
( lna + bx
x
+
2bx
a + bx
-
b2
 
x2
 
2(a + bx)2
 
) + C

Функции, содержащие a2
 
+ x2
 
, a2
 
- x2
 
, a + bx2
 
1)    
 
dx
1 + x2
 
= arctgx + C
2)    
 
dx
a2
 
+ x2
 
=  1 
a
arctg x 
a
+ C
3)    
 
dx
a2
 
- x2
 
=  1 
2a
ln a + x 
a - x
+ C =  1 
2a
ln x + a 
x - a
+ C
4)    
dx
a + bx2
 
=
 
1
ab
arctg(x b 
a
) + C   при a > 0 и b > 0
Если a и b отрицательны, то знак "−" выносится за интеграл,
а если a и b разных знаков, то использовать следущую формулу (№5)
5)    
 
dx
a - bx2
 
=
1
2ab
ln
a + xb
a − xb
+ C
6)    
 
xdx
a + bx2
 
=
1
2b
lnx2
 
+  a 
b
+ C
7)    
x2
 
dx
a + bx2
 
=  x 
b
-  a 
b
 
dx
a + bx2
 
 , затем см. №4 или №5
8)    
 
dx
x(a + bx2
 
)
=
1
2a
ln
x2
 
a + bx2
 
+ C
9)    
 
dx
x2
 
(a + bx2
 
)
= -
1
ax
-  b 
a
 
dx
a + bx2
 
 , затем см. №4 или №5
10)    
 
dx
(a + bx2
 
)2
 
=
 
x
2a(a + bx2
 
)
+
1
2a
 
dx
a + bx2
 
 , затем см. №4 или №5

Функции, содержащие a + bx
1)    a + bx  dx =
2
3b
(a + bx)3
 
+ C
2)    x
a + bx
 dx = -
2(2a - 3bx)(a + bx)3
 
15b2
 
+ C
3)    x2
 
a + bx
 dx =
2(8a2
 
- 12abx + 3b2
 
x2
 
)(a + bx)3
 
105b3
 
+ C
4)    
xdx
a + bx
= -
 
2(2a - bx)
3b2
 
a + bx
+ C
5)    
x2
 
dx
a + bx
=
2(8a2
 
- 4abx + 3b2
 
x2
 
)a + bx
15b3
 
+ C
6)    
dx
xa + bx
=
1
a
ln
a + bx - a
a + bx + a
+ C , при a > 0
7)    
dx
xa + bx
=
2
-a
arctg
a + bx
-a
+ C , при a < 0
8)    
 
dx
x2
 
a + bx
=
-a + bx
ax
-  b 
2a
dx
xa + bx
 , затем см. №6 или №7
9)    
a + bx dx
x
=
2a + bx
+ a
dx
xa + bx
 , затем см. №6 или №7

Функции, содержащие
x2
 
+ a2
 
1)    
x2
 
+ a2
 
 dx =  x 
2
x2
 
+ a2
 
+  1 
2
a2
 
lnx +
x2
 
+ a2
 
+ C
2)    
(x2
 
+ a2
 
)3
 
 dx =  x 
8
(2x2
 
+ 5a2
 
)
x2
 
+ a2
 
+  3 
8
a4
 
lnx +
x2
 
+ a2
 
+ C
3)    x
x2
 
+ a2
 
 dx =  1 
3
(x2
 
+ a2
 
)3
 
+ C
4)    x2
 
x2
 
+ a2
 
 dx =  x 
8
(2x2
 
+ a2
 
)
x2
 
+ a2
 
-  1 
8
a4
 
lnx +
x2
 
+ a2
 
+ C
5)    
 
dx
x2
 
+ a2
 
= lnx +
x2
 
+ a2
 
+ C
6)    
 
dx
(x2
 
+ a2
 
)3
 
=
 
x
a2
 
x2
 
+ a2
 
+ C
 
7)    
 
xdx
x2
 
+ a2
 
=
x2
 
+ a2
 
+ C
8)    
x2
 
dx
x2
 
+ a2
 
=  x 
2
x2
 
+ a2
 
-  1 
2
a2
 
lnx +
x2
 
+ a2
 
+ C
9)    
x2
 
dx
(x2
 
+ a2
 
)3
 
= −
 
x
x2
 
+ a2
 
+ lnx +
x2
 
+ a2
 
+ C
10)    
 
dx
x
x2
 
+ a2
 
=  1 
a
ln
x
a +
x2
 
+ a2
 
+ C
11)    
 
dx
x2
 
x2
 
+ a2
 
= −
x2
 
+ a2
 
a2
 
x
+ C
12)    
 
dx
x3
 
x2
 
+ a2
 
= −
x2
 
+ a2
 
2a2
 
x2
 
+
 
1
2a3
 
ln
a +
x2
 
+ a2
 
x
+ C
13)    
x2
 
+ a2
 
dx
x
=
x2
 
+ a2
 
- aln
a +
x2
 
+ a2
 
x
+ C
14)    
x2
 
+ a2
 
dx
x2
 
= − 1 
x
x2
 
+ a2
 
+ lnx +
x2
 
+ a2
 
+ C

Функции, содержащие
a2
 
- x2
 
1)    
 
dx
1 - x2
 
= arcsinx + C
2)    
 
dx
a2
 
- x2
 
= arcsin x 
a
+ C
3)    
 
dx
(a2
 
- x2
 
)3
 
=
 
 
x
a2
 
a2
 
- x2
 
+ C
4)    
 
xdx
a2
 
- x2
 
= −
a2
 
- x2
 
+ C
5)    
 
xdx
(a2
 
- x2
 
)3
 
=
 
 
1
a2
 
- x2
 
+ C
6)    
x2
 
dx
a2
 
- x2
 
= − x 
2
a2
 
- x2
 
+  1 
2
a2
 
arcsin x 
a
+ C
7)    
a2
 
- x2
 
dx =  x 
2
a2
 
- x2
 
+  1 
2
a2
 
arcsin x 
a
+ C
8)    
(a2
 
- x2
 
)3
 
dx =  x 
8
(5a2
 
- 2x2
 
)
a2
 
- x2
 
+  3 
8
a4
 
arcsin x 
a
+ C
9)    x
a2
 
- x2
 
dx = − 1 
3
(a2
 
- x2
 
)3
 
+ C
10)    x
(a2
 
- x2
 
)3
 
dx = − 1 
5
(a2
 
- x2
 
)5
 
+ C
11)    x2
 
a2
 
- x2
 
dx =  x 
8
(2x2
 
- a2
 
)
a2
 
- x2
 
+  1 
8
a4
 
arcsin x 
a
+ C
12)    
x2
 
dx
(a2
 
- x2
 
)3
 
=
 
x
a2
 
- x2
 
- arcsin x 
a
+ C
13)    
 
dx
x
a2
 
- x2
 
=  1 
a
ln
x
a +
a2
 
- x2
 
+ C
14)    
 
dx
x2
 
a2
 
- x2
 
= −
a2
 
- x2
 
a2
 
x
+ C
15)    
 
dx
x3
 
a2
 
- x2
 
= −
a2
 
- x2
 
2a2
 
x2
 
+
 
1
2a3
 
ln
x
a +
a2
 
- x2
 
+ C
16)    
a2
 
- x2
 
dx
x
=
a2
 
- x2
 
- aln
a +
a2
 
- x2
 
x
+ C
17)    
a2
 
- x2
 
dx
x2
 
= − 1 
x
a2
 
- x2
 
- arcsin x 
a
+ C

Функции, содержащие
x2
 
- a2
 
1)    
 
dx
x2
 
- a2
 
= lnx +
x2
 
- a2
 
+ C
2)    
 
dx
(x2
 
- a2
 
)3
 
= −
 
 
x
a2
 
x2
 
- a2
 
+ C
3)    
 
xdx
x2
 
- a2
 
=
x2
 
- a2
 
+ C
4)    
x2
 
- a2
 
 dx =  x 
2
x2
 
- a2
 
-  1 
2
a2
 
lnx +
x2
 
- a2
 
+ C
5)    
(x2
 
- a2
 
)3
 
 dx =  x 
8
(2x2
 
- 5a2
 
)
x2
 
- a2
 
+  3 
8
a4
 
lnx +
x2
 
- a2
 
+ C
6)    x
x2
 
- a2
 
 dx =  1 
3
(x2
 
- a2
 
)3
 
+ C
7)    x
(x2
 
- a2
 
)3
 
 dx =  1 
5
(x2
 
- a2
 
)5
 
+ C
8)    x2
 
x2
 
- a2
 
 dx =  x 
8
(2x2
 
- a2
 
)
x2
 
- a2
 
-  1 
8
a4
 
lnx +
x2
 
- a2
 
+ C
9)    
x2
 
dx
x2
 
- a2
 
=  x 
2
x2
 
- a2
 
+  1 
2
a2
 
lnx +
x2
 
- a2
 
+ C
10)    
x2
 
dx
(x2
 
- a2
 
)3
 
= −
 
x
x2
 
- a2
 
+ lnx +
x2
 
- a2
 
+ C
11)    
 
dx
x
x2
 
- 1
= arcsecx + C
12)    
 
dx
x
x2
 
- a2
 
=  1 
a
arcsec x 
a
+ C
13)    
 
dx
x2
 
x2
 
- a2
 
=
x2
 
- a2
 
a2
 
x
+ C
14)    
 
dx
x3
 
x2
 
- a2
 
=
x2
 
- a2
 
2a2
 
x2
 
+
 
1
2a3
 
arcsec x 
a
+ C
15)    
x2
 
- a2
 
dx
x
=
x2
 
- a2
 
- a*arccos a 
x
+ C
16)    
x2
 
- a2
 
dx
x2
 
= − 1 
x
x2
 
- a2
 
+ lnx +
x2
 
- a2
 
+ C

Функции, содержащие
2ax - x2
 
,
2ax + x2
 
Функция, содержащая
2ax - x2
 
интегрируется подстановкой t = x - a.
Тогда
2ax - x2
 
получает вид
a2
 
- t2
 
, и интеграл находят в группе
для функций, содержащих
a2
 
- x2
 
. Если его в таблице нет,
то стараются привести его к виду, имеющемуся в таблице.
То же можно сказать и о функции, содержащей выражение
2ax - x2
 
.
В этом случае подстановка t = x + a приводит радикал к виду
t2
 
- a2
 

Функции, содержащие a + bx + cx2
 
  (c > 0)
1)    
 
dx
a + bx + cx2
 
=
2
4ac - b2
 
arctg
2cx + b
4ac - b2
 
+ C , если b2
 
< 4ac
1
b2
 
- 4ac
ln
2cx + b −
b2
 
- 4ac
2cx + b +
b2
 
- 4ac
+ C , если b2
 
> 4ac
2)    
 
dx
a + bx + cx2
 
=
1
c
ln2cx + b + 2
c
a + bx + cx2
 
+ C
3)    
a + bx + cx2
 
dx =
2cx + b
4c
a + bx + cx2
 
b2
 
- 4ac
8
c3
 
ln2cx + b + 2
c
a + bx + cx2
 
+ C
4)    
 
xdx
a + bx + cx2
 
=
a + bx + cx2
 
c
 
 
b
2
c3
 
ln2cx + b + 2
c
a + bx + cx2
 
+ C

Функции, содержащие a + bx - cx2
 
  (c > 0)
1)    
 
dx
a + bx - cx2
 
=
 
1
b2
 
+ 4ac
ln
b2
 
+ 4ac
+ 2cx - b
b2
 
+ 4ac
- 2cx + b
+ C
2)    
 
dx
a + bx - cx2
 
=
1
c
arcsin
 
2cx - b
b2
 
+ 4ac
+ C
3)    
a + bx - cx2
 
dx =
2cx - b
4c
a + bx - cx2
 
+
b2
 
+ 4ac
8
c3
 
arcsin
 
2cx - b
b2
 
+ 4ac
+ C
4)    
 
xdx
a + bx - cx2
 
= −
a + bx - cx2
 
c
 
+
 
b
2
c3
 
arcsin
 
2cx - b
b2
 
+ 4ac
+ C

Другие алгебраические функции
1)     a + x 
b + x
dx =
(a + x)(b + x)
+ (a - b)ln
a + x
+
b + x
+ C
2)     a - x 
b + x
dx =
(a - x)(b + x)
+ (a + b)arcsin x + b 
a + b
+ C
3)     a + x 
b - x
dx = −
(a + x)(b - x)
- (a + b)arcsin b - x 
a + b
+ C
4)     1 + x 
1 - x
dx = −
1 - x2
 
+ arcsinx + C
5)    
dx
(x - a)(b - x)
= 2arcsin x - a 
b - a
+ C

Показательные и тригонометрические функции
1)    ax
 
dx =
ax
 
ln(a)
 
+ C
2)    ex
 
dx = ex
 
+ C
3)    eax
 
dx =
eax
 
a
 
+ C
4)    sinx dx = -cosx + C
5)    cosx dx = sinx + C
6)    tgx dx = -ln|cosx| + C
7)    ctgx dx = ln|sinx| + C
8)    secx dx = ln|secx + tgx| + C = lntg( π 
4
+  x 
2
) + C
9)    cosecx dx = ln|cosecx - ctgx| + C = lntg x 
2
+ C
10)    sec2
 
x dx = tgx + C
11)    cosec2
 
x dx = -ctgx + C
12)    secx*tgx dx = secx + C
13)    cosecx*ctgx dx = -cosecx + C
14)    sin2
 
x dx =  x 
2
-  1 
4
sin2x + C
15)    cos2
 
x dx =  x 
2
+  1 
4
sin2x + C
16)    sinn
 
x dx = −
sinn - 1
 
x * cosx
n
 
+  n - 1 
n
sinn - 2
 
x dx
Эта формула применяется несколько раз, пока не приведет к интегралу
sinx dx или sin2
 
x dx(в зависимости от n, четное или нечетное), затем №4 или №14.
17)    cosn
 
x dx =
cosn - 1
 
x * sinx
n
 
+  n - 1 
n
cosn - 2
 
x dx
Аналогично предыдущему интегралу, затем №5 или №15.
18)    
 
dx
sinn
 
x
= −   1   
n - 1
 
cosx
sinn - 1
 
x
+  n - 2 
n - 1
 
dx
sinn - 2
 
x
Эта формула применяется несколько раз, пока не приведет к интегралу
dx или    dx   
sinx
(в зависимости от n, четное или нечетное), затем №9.
19)    
 
dx
cosn
 
x
=    1   
n - 1
 
sinx
cosn - 1
 
x
+  n - 2 
n - 1
 
dx
cosn - 2
 
x
Аналогично предыдущему интегралу, затем №8.
20)    sinx * cosn
 
x dx = −
cosn + 1
 
x
n + 1
 
+ C
21)    sinn
 
x * cosx dx =
sinn + 1
 
x
n + 1
 
+ C
22)    sinn
 
x * cosm
 
x dx =
cosm - 1
 
x * sinm + 1
 
x
m + n
 
+  m - 1 
m + n
sinn
 
x * cosm - 2
 
x dx
Применяется несколько раз, пока степень косинуса не будет равна нулю (если m - четное)
или единице (если m - нечетное). В первом случае см.№16, во втором - №21.
Этой формулой следует пользоваться, когда m < n. Если m > n, то лучше пользоваться №23.
23)    sinn
 
x * cosm
 
x dx = −
cosm + 1
 
x * sinn - 1
 
x
m + n
 
+  n - 1 
m + n
sinn - 2
 
x * cosm
 
x dx
Аналогично предыдущему интегралу, затем №17 и №20.
24)    sin(mx)sin(nx)dx = − sin(m + n)x 
2(m + n)
+  sin(m - n)x 
2(m - n)
+ C ,   (m ≠ n).
25)    cos(mx)cos(nx)dx =  sin(m + n)x 
2(m + n)
+  sin(m - n)x 
2(m - n)
+ C ,   (m ≠ n).
26)    sin(mx)cos(nx)dx = − cos(m + n)x 
2(m + n)
 cos(m - n)x 
2(m - n)
+ C ,   (m ≠ n).
27)    
dx
a + bcosx
=
 
2
a2
 
- b2
 
arctg(
 a - b 
a + b
tg x 
2
) + C , если a > b
28)    
dx
a + bcosx
=
 
1
b2
 
- a2
 
ln
b - atg x 
2
+ b + a
b - atg x 
2
b + a
+ C , если a < b
29)    
dx
a + bsinx
=
 
2
a2
 
- b2
 
arctg
a tg x 
2
+ b
a2
 
- b2
 
+ C , если a > b
30)    
dx
a + bsinx
=
 
1
b2
 
- a2
 
ln
a tg x 
2
+ b -
b2
 
- a2
 
a tg x 
2
+ b +
b2
 
- a2
 
+ C , если a < b
31)    
 
dx
a2
 
cos2
 
x + b2
 
sin2
 
x
=  1 
ab
arctg( b tgx 
a
) + C
32)    ex
 
sinx dx =
ex
 
(sinx - cosx)
2
 
+ C
33)    eax
 
sin(nx) dx =
eax
 
(a sin(nx) - n cos(nx))
a2
 
+ n2
 
+ C
34)    ex
 
cosx dx =
ex
 
(sinx + cosx)
2
 
+ C
35)    eax
 
cos(nx) dx =
eax
 
(n sin(nx) + a cos(nx))
a2
 
+ n2
 
+ C
36)    x eax
 
dx =
eax
 
a2
 
(ax - 1) + C
37)    xn
 
eax
 
dx =
xn
 
eax
 
a
-  n 
a
xn - 1
 
eax
 
dx
Формула применяется несколько раз, пока степень х не станет равной единице, затем см. №36
38)    x amx
 
dx =
x amx
 
m ln|x|
-
amx
 
m ln2
 
a
+ C
39)    xn
 
amx
 
dx =
xn
 
amx
 
n ln(a)
-    n   
m ln(a)
xn - 1
 
amx
 
dx
Формула применяется несколько раз, пока степень х не станет равной единице, затем см. №38
40)    eax
 
cosn
 
dx =
eax
 
cosn - 1
 
x(a cosx + n sinx)
a2
 
+ n2
 
+
 
n(n - 1)
a2
 
+ n2
 
eax
 
cosn - 2
 
dx
Формула применяется несколько раз, пока косинус не исчезнет (если четное n)
или его степень не станет равной единице (если нечетное n), затем см. №35
41)    sh x dx = ch x + C
42)    ch x dx = sh x + C
43)    th x dx = ln|ch x| + C
44)    cth x dx = ln|sh x| + C
45)    sch x dx = 2arctg ex
 
+ C
46)    csch x dx = ln|th x 
2
| + C
47)    sch2
 
x dx = th x + C
48)    csch2
 
x dx = -cth x + C
49)    sch x th x dx = sch x + C
50)    csch x cth x dx = -csch x + C
51)    sh2
 
x dx = − x 
2
+  1 
4
sh2x + C
52)    ch2
 
x dx =  x 
2
+  1 
4
sh2x + C

Логарифмические функции
Даются функции, содержащие только натуральный логарифм. Если требуется найти
интеграл от функции, содержащей логарифм при другом основании,
то предварительно переводят его в натуральный по формуле
log 
a
x =  ln(x) 
ln(a)
, а затем пользуются таблицей.
1)    ln(x)dx = x ln(x) - x + C
2)    
dx
x ln(x)
= ln|ln(x)| + C
3)    xn
 
ln(x)dx = xn + 1
 
(  ln(x)  
n + 1
 
1
(n + 1)2
 
) + C
4)    lnn
 
(x)dx = x lnn
 
(x) - nlnn - 1
 
(x)dx
Формулу применять до тех пор, пока не получится интеграл ln(x)dx, затем №1
5)    xm
 
lnn
 
(x)dx =
xm + 1
 
m + 1
 
lnn
 
(x) -    n   
m + 1
xm
 
lnn - 1
 
(x)dx
Формулу применять до тех пор, пока не получится интеграл №3
Бросок

Проверь удачу, набери 60+

Если тебе трудно сразу понять всю бесконечность, постарайся понять ее хотя бы наполовину.

Славомир Врублевский

Новости математики
15.09.2013

30 секунд, не больше!

Ограничения на решебник остаются, однако не больше 30 секунд. С текущим потоком запросов как-нибудь справимся.

10.09.2013

Решение примеров и задач

Постепенно к этим двум страницам обращаются, в основном школьники, нежели студенты. Это хорошо, поскольку те задачи решаются быстро, а времени у меня не так много. Ответы ждите примерно в вечерние часы, от 20 до 23 по МСК на тех же страницах.

Все запросы я проверяю вручную, и если это не спам и написано доходчиво (как в условие задачи Вашего учебника или под диктовку учителя), то я привожу ответ.