Главная » Математика » Тела вращения

Тела вращения

Тела вращения – это объемные тела, которые возникают при вращении некой плоской фигуры, которая, в свою очередь, ограничена кривой и крутится вокруг оси, лежащей в той же плоскости.

Какие же основные тела вращения существуют?

  1. Шар. Это геометрическая фигура, которая образована в результате вращения полукруга вокруг диаметра разреза.
  2. Цилиндр. Это геометрическая фигура, которая образована в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон.
  3. Конус. Это геометрическая фигура, которая образована в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из своих катетов.
  4. Тор. Это геометрическая фигура, которая образована в результате вращения окружности вокруг прямой, при этом окружность прямую не пересекает.

Стоит отметить такой интересный факт, что если вращаются контуры фигур, то у нас возникает поверхность вращения. Пример – сфера, которая образовывается в результате вращения окружности. Если же вращаются заполненные контуры, то у нас возникают тела. например, шар, который образовывается в результате вращения круга 9а круг. как всем известно, тело заполненное).

Тела вращения, разумеется, имеют свой объем и свою площадь. И то и другое, можно узнать с помощью теорем Гульдина-Паппа.

Первая теорема гласит о том, что площадь поверхности линии, которая образуется при вращении и лежит целиком в плоскости по одну сторону от оси вращения, равняется произведению длины линии на длину окружности, пробегаемой центром масс этой линии.

Вторая теорема говорит о том, что объем тела, который образуется при вращении фигуры и лежит целиком в плоскости по одну сторону от оси вращения, равняется произведению площади фигуры на длину окружности, пробегаемой центром масс этой фигуры.

Тела вращения


Цилиндр
     
S 
бок
= 2πRh
S 
полн
= 2πR2
 
+ 2πRh
V = πR2
 
h

Конус
     
S 
бок
= πRl
S 
полн
= πR(R + l)
V = 1
3
πR2
 
h

Усеченный конус
     
S 
бок
= πl(R + r)
S 
полн
= S 
бок
+ π(R2
 
+ r2
 
)
V = 1
3
πh(R2
 
+ Rr + r2
 
)

Шар
     
S 
сферы
= 4πR2
 
= πd2
 
V = 4
3
πR3
 
= 1
6
πd3
 

Шаровой сектор
     
S = πR(2h + a)
V = 2
3
πR2
 
h

Шаровой сегмент
     
a2
 
= h(2R - h)
S 
бок
= 2πRh = π(a2
 
+ h2
 
)
S 
полн
= π(2Rh + a2
 
) = π(h2
 
+ 2a2
 
)
V = πh2
 
(R - h
3
)

Шаровой пояс(слой)
     
V = 1
6
πh3
 
+ 1
2
π(a2
1
+ a2
2
)h
Бросок

Проверь удачу, набери 60+

Аксиома — это истина, на которую не хватило доказательств.

В. Хмурый

Новости математики
15.09.2013

30 секунд, не больше!

Ограничения на решебник остаются, однако не больше 30 секунд. С текущим потоком запросов как-нибудь справимся.

10.09.2013

Решение примеров и задач

Постепенно к этим двум страницам обращаются, в основном школьники, нежели студенты. Это хорошо, поскольку те задачи решаются быстро, а времени у меня не так много. Ответы ждите примерно в вечерние часы, от 20 до 23 по МСК на тех же страницах.

Все запросы я проверяю вручную, и если это не спам и написано доходчиво (как в условие задачи Вашего учебника или под диктовку учителя), то я привожу ответ.