Главная » Математика » Теория вероятностей

Теория вероятностей


Сумма двух событий A и B

A + B = A ∪ B
− событие, которое имеет место тогда и только тогда,
когда осуществляется хотя бы одно из событий A и B

Произведение двух событий A и B

AB = A ∩ B
− событие, которое имеет место тогда и только тогда,
когда происходит как событие A, так и событие B

Вероятность события А
P(A) =  m 
n
    (0 ≤ P(A) ≤ 1)
− отношение числа m благоприятных для события A равновозможных
элементарных исходов к числу n всех единственно возможных и
равновозможных элементарных исходов.

Вероятность противоположного события

P(A) = 1 - P(A)

Теорема сложения для двух несовместных событий A и B
P(A + B) = P(A) + P(B)

В общем случае
P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)

Теорема умножения вероятностей

P(AB) = P(A) P 
A
(B) ,
где P 
A
(B) - соответствующая условная вероятность события B

Если события A и B независимы, то
P(AB) = P(A) P(B)

Формула полной вероятности
P(A) = n

i = 1
P(H 
i
)P
 
H 
i
(A) ,
где H 
1
, H 
2
, ..., H 
n
- полная группа гипотез:
A = n

i = 1
H 
i
A,   H 
i
H 
j
= 0  при i ≠ 1 , n

i = 1
P(H 
i
) = 1

Формула Бейеса
P 
A
(H 
i
) =
P(H 
i
) P
 
H 
i
(A)
n

j = 1
P(H 
j
) P
 
H 
j
(A)
(i = 1, 2, ..., n),  где H 
1
, H 
2
, ..., H 
n
- полная группа гипотез:

Бином Ньютона
(q + p)n
 
= qn
 
+ C1
n
qn - 1
 
p + C2
n
qn - 2
 
p2
 
+ ... + pn
 

Биномиальный закон распределения.
В условиях схемы Бернулли вероятность появления события A
при n-испытаниях точно m-раз (0 ≤ n)равна
P 
n
(m) = Cm
n
pm
 
pn - m
 
=       n!      
m!(n - m)!
pm
 
qn - m
 
 ,
где P(A) = p,  P(A) = q = 1 - p   при однократном испытании.

Локальная формула Лапласа
P 
n
(m) ≈
1
2πnpq
e
-
 
t2
 
2
 
 
 
где 0 ≤ p ≤ 1,  q = 1 - p,  t = (npq)
- 1 
2
 
 
* (m - np)

Интегральная формула Лапласа
P(m 
1
≤ m ≤ m 
2
) ≈ Ф 
0
(t
 
m 
2
) - Ф 
0
(t
 
m 
1
) ,
где
t 
m
= (npq)
- 1 
2
 
 
* (m - np),   Ф 
0
(x) =
1
x
0
e
-
 
t2
 
2
 
 
 
dt

Формула Пуассона
P 
n
(m) ≈
μm
 
m!
 
e
 
 ,
где μ = np, причем вероятность p мала.

Математическое ожидание дискретной случайной величины
X = {x 
1
, x 
2
, ..., x 
n
} ,
где p 
i
= P(X = x 
i
) (i = 1, 2, ..., n), n

i = 1
p 
i
= 1, есть
M(X) = n

i = 1
x 
i
p 
i

Основные свойства математического ожидания

M(C) = C

M(CX) = CM(X)

M(X + Y) = M(X) + M(Y)

M(XY) = M(X) M(Y)

M(X - Y) = M(X) - M(Y)

где события X и Y независимы

Дисперсия дискретной случайной величины X
D = M{ [X - M(X)]2
 
 } = M(X2
 
) - [M(X)]2
 

Основные свойства дисперсии

D(C) = 0

D(X ± Y) = D(X) + D(Y)
D(CX) = C2
 
D(X) ,

где события X и Y независимы.

Для биномиального закона распределений числа
появлений X события A при n-испытаниях имеем:
P(X = m) = Cm
n
pm
 
qn - m
 
 (m = 0, 1, 2, ..., n) ,
p = P(A), q = P(A);   M(X) = np;   D(X) = npq

Функция распределения для непрерывной случайной величины X
Ф(x) = P(-∞ < X < x) =
x
-∞
φ(t)dt ,
где (-∞ < x < +∞),   φ(x) - плотность вероятности.

Математическое ожидание для непрерывной случайной величины X
M(x) =
+∞
-∞
x φ(x)dx

Дисперсия для непрерывной случайной величины X
D(x) =
+∞
-∞
(x - M(X))2
 
φ(x)dx

Для нормального закона распределения случайной
величины X плотность вероятности имеет вид
φ(x) =
 
1
σ
e

 
 
(x - x 
0
)2
 

 
 
2
 
 
 
 
 ,
где x 
0
= M(X),  σ = D(X)
При этом
P(a ≤ x ≤ b) = Ф 
0
(
b - x 
0
σ
 
) - Ф 
0
(
a - x 
0
σ
 
) ,
где Ф 
0
(x) - стандартный интеграл вероятностей.
Бросок

Проверь удачу, набери 60+

Иные теоремы доказываются, чтобы другим неповадно было, другие же - вопреки всеоб-щему мнению.

Фома Евграфович Топорищев

Новости математики
15.09.2013

30 секунд, не больше!

Ограничения на решебник остаются, однако не больше 30 секунд. С текущим потоком запросов как-нибудь справимся.

10.09.2013

Решение примеров и задач

Постепенно к этим двум страницам обращаются, в основном школьники, нежели студенты. Это хорошо, поскольку те задачи решаются быстро, а времени у меня не так много. Ответы ждите примерно в вечерние часы, от 20 до 23 по МСК на тех же страницах.

Все запросы я проверяю вручную, и если это не спам и написано доходчиво (как в условие задачи Вашего учебника или под диктовку учителя), то я привожу ответ.