Главная » Математика » Треугольник

Треугольник

Треугольник – это фигура, состоящая из трех точек и трех отрезков, при этом три точки не лежат на одной прямой, а три отрезка попарно эти точки соединяют. Если быть точнее, то точки треугольника называются его вершинами, а отрезки – сторонами. Обозначается треугольник его вершинами, а вместо длинного слова треугольник рисуют символ Δ.

Давайте теперь подробнее рассмотрим разновидности треугольников.

  1. Равнобедренный треугольник – это такой треугольник, который имеет две одинаковые стороны, которые еще называют боковыми, третья сторона, отличная от тех двух, называется основанием.
  2. Равносторонний треугольник – треугольник с одинаковыми сторонами, также его иногда называют правильным треугольников.
  3. Прямоугольный треугольник – треугольник, который имеет прямой угол (90 градусов).
  4. Остроугольный треугольник – треугольник, у которого все углы острые (то есть меньше 90 градусов).
  5. Тупоугольный треугольник – треугольник, у которого один из углов тупой (то есть больше 90 градусов).
  6. В принципе запомнить особенности каждого из вида треугольников легко, так каких названия говорят сами за себя.

    Возьмем, к примеру, треугольник АВС. А, В, С являются его вершинами, а АВ, ВС и АС -соответственно его стороны.

    Теперь рассмотрим строение данного треугольника более подробно. Угол треугольника АВС при вершине А – это угол, который образовался полупрямыми АВ и АС. Аналогично мы можем определить углы, которые лежат при вершине В и при вершине С.

    Высота треугольника – это перпендикуляр, который опускается из заданной вершины к прямой, которая противоположна вершине.

    Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла данного треугольника, который соединяет вершину с точкой на противолежащей стороне.

    Медиана треугольника, которая проводится из заданной вершины, является отрезок, соединяющий данную вершину с серединой противоположной стороны треугольника.

    Средняя линия треугольника – это отрезок, который соединяет середины двух сторон данного треугольника. К этому обозначению также есть определенная теорема, которая говорит о том, что средняя линия треугольника всегда параллельна третьей стороне, а также равна ее половине.

    Все эти обозначения (медиана, биссектриса, высота, средняя линия треугольника) обязательно понадобятся в решении практических задач. Скажем более того, без знания свойств этих вершин вы вряд ли сможете решить хоть какую-либо задачу, связанную с треугольниками.

    Треугольники


    Обозначения
          A, B, C - вершины;
    α, β, γ - углы;
    a, b, c - стороны, противолежащие углам α, β, γ (вершинам А, В, С) соответственно;
    h 
    a
    , h 
    b
    , h 
    c
    - высоты, опущенные
    на стороны a, b, c соответственно;
    m 
    a
    , m 
    b
    , m 
    c
    - медианы;
    l 
    a
    , l 
    b
    , l 
    c
    - биссектрисы;
    R - радиус описанной окружности;
    r - радиус вписанной окружности.

    Формулы вычисления площади треугольника
    S = 1
    2
    ah 
    a
    = 1
    2
    bh 
    b
    = 1
    2
    ch 
    c
    S = 1
    2
    absinγ = 1
    2
    acsinβ = 1
    2
    bcsinα
    S = p(p - a)(p - b)(p - c)     (периметр p = 1
    2
    (a + b + c) )
    S = rp;      S = abc
    4R

    Формулы вычисления медианы, биссектрисы, высоты через стороны треугольника
    m2
    a
    = 2b2
     
    + 2c2
     
    - a2
     
    4
    l2
    a
    = bc((b + c)2
     
    - a2
     
    )
    (b + c)2
     
     
    h2
    a
    = 4p(p - a)(p - b)(p - c)
    a2
     

    Отношения высот и сторон треугольника
    h 
    a
    :h 
    b
    :h 
    c
    = 1
    a
    :1
    b
    :1
    c

    Теорема косинусов
    a2
     
    = b2
     
    + c2
     
    - 2bccosα
    b2
     
    = a2
     
    + c2
     
    - 2accosβ
    c2
     
    = a2
     
    + b2
     
    - 2abcosγ

    Теорема синусов
       a   
    sinα
    =    b   
    sinβ
    =    c   
    sinγ
    = 2R

    Теорема тангенсов (формулы Региомонтана)
    a + b
    a - b
    = tgα + β
    2
    = ctgγ
    2
    tgα - β
    2
    tgα - β
    2
    a + c
    a - c
    = tgα + γ;
    2
    = ctgβ
    2
    tgα - γ
    2
    tgα - γ
    2
    b + c
    b - c
    = tgβ + γ
    2
    = ctgα
    2
    tgβ - γ
    2
    tgβ - γ
    2

    Теорема Пифагора
         
    c2
     
    = a2
     
    + b2
     
       (∠C = 90°)
    R = c
    2
    = m 
    c
    a 
    c
    = a
    ac
    b 
    c
    = b
    bc
    b 
    c
    = h
    ha 
    c

    Площадь прямоугольного треугольника
    S = 1
    2
    ab = 1
    2
    hc (∠C = 90°)

    Равносторонний треугольник
    S = a2
     
    3
    4
        
    h = a3
    2
    R = 2r
    R = a3    r = a3
    36

    Решение треугольников

    Прямоугольный треугольник
    a = c * sinα      b = c*cosα
    a = b * tgα      b = a*ctgα
    c =    a   
    sinα
          c =    b   
    cosα

    Произвольный треугольник
    a = bsinα
    sinβ
          b = csinβ
    sinγ
    a = csinα
    sinγ
          c = asinγ
    sinα
    b = asinβ
    sinα
          c = bsinγ
    sinβ
    a = b*cosγ + c*cosβ
    b = c*cosα + a*cosγ
    c = a*cosβ + b*cosα
    tgα =    asinγ   
    b - acosγ
    sinα
    2
    = (p - b)(p - c)
    bc
    cosα
    2
    = p(p - a)
    bc
    tgα
    2
    = (p - b)(p - c)
    p(p - a)
Бросок

Проверь удачу, набери 60+

Желающие испытать себя в математике могут начать прямо с нуля, доказав его существование и единственность.

Фома Евграфович Топорищев

Новости математики
15.09.2013

30 секунд, не больше!

Ограничения на решебник остаются, однако не больше 30 секунд. С текущим потоком запросов как-нибудь справимся.

10.09.2013

Решение примеров и задач

Постепенно к этим двум страницам обращаются, в основном школьники, нежели студенты. Это хорошо, поскольку те задачи решаются быстро, а времени у меня не так много. Ответы ждите примерно в вечерние часы, от 20 до 23 по МСК на тех же страницах.

Все запросы я проверяю вручную, и если это не спам и написано доходчиво (как в условие задачи Вашего учебника или под диктовку учителя), то я привожу ответ.