Главная » Математика » Тригонометрические тождества

Тригонометрические тождества

Тригонометрические функции являются неотъемлемой частью тригонометрии, поэтому знание этих функций очень важно. Но на чем основываются эти функции? Конечно же, на тригонометрических тождествах.

Давайте разберемся, что же такое тождество вообще? Самое простое определение, это, конечно же, сходство. Если «копнуть» глубже, то мы можем говорить о том, что тождество – отношение между некоторыми предметами (реальными или абстрактными), что позволяет говорить об их неотличимости в каких-то характеристиках. На самом деле такое определение к тригонометрии подходит, ведь в каких-то характеристиках наши функции действительно схожи и неотъемлемы друг от друга.

Давайте подробнее рассмотрим каждое тригонометрическое тождество.

Соотношение синуса и косинуса одного и того же угла – именно это тригонометрическое тождество и является основным в тригонометрии. Выглядит это тождество следующим образом:

Sin2a +cos2a = 1

Попробуем объяснить, почему это тождество выглядит именно так. Изначально у нас есть прямоугольный треугольник с определенным углом а. Гипотенуза нашего треугольника равна 1. Один катет треугольника – это косинус, а другой – синус. Теперь применяем к нашему треугольнику теорему Пифагора и получаем наше тригонометрическое тождество.

Теперь рассмотрим зависимость между тангенсом и котангенсом. Тут все просто. Произведение тангенса и котангенса равно 1.

Зависимость между тангенсом и косинусом угла выводится очень просто. Для начала берем наше основное тригонометрическое тождество и делим его на квадрат косинуса, потом упрощаем левую часть уравнения и получаем наше третье тождество (при это важно помнить, что деление возможно только в том случае. если косинус не равняется нулю).

Тригонометрические тождества

cos2
 
α + sin2
 
α = 1
|cosα| = 1 - sin2
 
α
|sinα| = 1 - cos2
 
α
tgα * ctgα = 1
tgα =    1   
ctgα
ctgα =   1  
tgα
1 + ctg
 
2
 
 
α =
 
1 = cosec
 
2
 
 
α
 
sin2
 
α
1 + tg
 
2
 
 
α =
 
1 = sec
 
2
 
 
α
 
cos2
 
α

Выражения одних тригонометрических функций через другие
sincostgctgseccosec
sin(x)
= ±1 - cos2
 
x
=
 
tgx
±1 + tg2
 
x
=
 
1
±1 + ctg2
 
x
 
=
±sec2
 
x - 1
secx
= 1
cosecx
cos(x)
= ±1 - sin2
 
x
=
 
1
±1 + tg2
 
x
=
 
ctgx
±1 + ctg2
 
x
= 1
secx
 
=
±cosec2
 
x - 1
cosecx
tg(x)
=
 
sinx
±1 - sin2
 
x
 
=
±1 - cos2
 
x
cosx
= 1
ctgx
= ±sec2
 
x - 1
=
 
1
±cosec2
 
x - 1
ctg(x)
 
=
±1 - sin2
 
x
sinx
=
 
cosx
±1 - cos2
 
x
= 1
tgx
=
 
1
±sec2
 
x - 1
= ±cosec2
 
x - 1
sec(x)
=
 
1
±1 - sin2
 
x
= 1
cosx
= ±1 + tg2
 
x
= ±1 + ctg2
 
x
ctgx
=
 
cosecx
±cosec2
 
x - 1
cos(x)
= 1
sinx
=
 
1
±1 - cos2
 
x
 
=
±1 + tg2
 
x
tgx
= ±1 + ctg2
 
x
=
 
secx
±sec2
 
x - 1
Бросок

Проверь удачу, набери 60+

Математика - это искусство называть разные вещи одним и тем же именем.

А. Пуанкаре

Новости математики
15.09.2013

30 секунд, не больше!

Ограничения на решебник остаются, однако не больше 30 секунд. С текущим потоком запросов как-нибудь справимся.

10.09.2013

Решение примеров и задач

Постепенно к этим двум страницам обращаются, в основном школьники, нежели студенты. Это хорошо, поскольку те задачи решаются быстро, а времени у меня не так много. Ответы ждите примерно в вечерние часы, от 20 до 23 по МСК на тех же страницах.

Все запросы я проверяю вручную, и если это не спам и написано доходчиво (как в условие задачи Вашего учебника или под диктовку учителя), то я привожу ответ.