Вектор

В математике и физике, вектор является величиной, которая характеризуется своим направлением, а также численным значением. Когда же используются векторы и зачем они нужны? Векторы используют для записи тех величин, которые обыкновенными числами записать невозможно. Допустим, нам необходимо описать положение предмета относительно некоторой точки. Разумеется, мы можем вычислить расстояние между точкой и предметов и записать его обыкновенным числом, но это не будет полной характеристикой. А вот если мы запишем данную величину вектором, то помимо расстояния, мы будем еще знать направление, в котором данный предмет находится относительно заданной точки.

Графически все векторы изображаются, как направленные отрезки определенной заданной длины.

Что же такое свободные векторы? По-другому свободные векторы можно еще назвать и равными. Это такие векторы, у которых совпадает, как модульная величина (то есть отрезок по значению одинаковый), так и направление.

А теперь поговорим не много о действиях над векторами. Зачем вообще придумали слаживать вектора? На самом-то деле, просто решили, что можно вывести один вектор, который бы оказывал тоже воздействие, что и два других вектора. Как вы догадались, два других вектора, это наши слагаемые, а один вектор, который оказывает такое же воздействие – это наша сумма. Вектора складываются несколькими способами, в математики они называются «правилами». Первый – «правило треугольника», второй – «правило «параллелограмма». Стоит отметить и то, что мы можем сложить и три, и четыре , и пять векторов, но делать это надо постепенно, то есть попарно.

Векторы


Координаты вектора с началом в точке A(x 
1
, y 
1
, z 
1
)
и концом в точке B(x 
2
, y 
2
, z 
2
)

AB
 
(x 
2
- x 
1
, y 
2
- y 
1
, z 
2
- z 
1
)
Координаты суммы векторов
a
 
(x 
1
, y 
1
, z 
1
) и
b
 
(x 
2
, y 
2
, z 
2
)

a
 
+
b
 
=
c
 
(x 
1
+ x 
2
, y 
1
+ y 
2
, z 
1
+ z 
2
)

Свойства сложения векторов

a
 
+
b
 
=
b
 
+
a
 
(
a
 
+
b
 
) +
c
 
=
a
 
+ (
b
 
+
c
 
)

a
 
+
0
 
=
a
 

a
 
+ (-
a
 
) =
0
 

Координаты произведения вектора на число
λ *
a
 
(x, y, z) =
c
 
(λx, λy, λz)

Свойства умножения
(λμ)
a
 
= λ(μ
a
 
)
(λ + μ) *
a
 
= λ
a
 
+ μ
a
 
λ(
a
 
+
b
 
) = λ
a
 
+ λ
b
 
0 *
a
 
= λ
0
 
=
0
 

Скалярное произведение векторов

a
 
(x 
1
, y 
1
, z 
1
) и
b
 
(x 
2
, y 
2
, z 
2
)

a
 
*
b
 
= x 
1
x 
2
+ y 
1
y 
2
+ z 
1
z 
2
= |
a
 
| * |
b
 
| * cos(
a
 
,
b
 
)

Косинус угла между векторами

a
 
(x 
1
, y 
1
, z 
1
) и
b
 
(x 
2
, y 
2
, z 
2
)
cos(
a
 
,
b
 
)
=

a

*

b
 
|

a
 
| * |

b
 
|
=
x 
1
x 
2
+ y 
1
y 
2
+ z 
1
z 
2
x2
1
+ y2
1
+ z2
1
* x2
2
+ y2
2
+ z2
2

Свойства скалярного произведения

a
 
*
b
 
=
b
 
*
a
 

a
 
*
a
 
≥ 0

a
 
*
a
 
= |
a
 
|2
 

a
 
(
b
 
+
c
 
) =
a
 
*
b
 
+
a
 
*
c
 

a
 
)
b
 
= λ(
a
 

b
 
)
Длина вектора
a
 
(x, y, z)
|
a
 
| = x2
 
+ y2
 
+ z2
 
Бросок

Проверь удачу, набери 60+

Аксиома — это истина, на которую не хватило доказательств.

В. Хмурый

Новости математики
15.09.2013

30 секунд, не больше!

Ограничения на решебник остаются, однако не больше 30 секунд. С текущим потоком запросов как-нибудь справимся.

10.09.2013

Решение примеров и задач

Постепенно к этим двум страницам обращаются, в основном школьники, нежели студенты. Это хорошо, поскольку те задачи решаются быстро, а времени у меня не так много. Ответы ждите примерно в вечерние часы, от 20 до 23 по МСК на тех же страницах.

Все запросы я проверяю вручную, и если это не спам и написано доходчиво (как в условие задачи Вашего учебника или под диктовку учителя), то я привожу ответ.