Вектор

В математике и физике, вектор является величиной, которая характеризуется своим направлением, а также численным значением. Когда же используются векторы и зачем они нужны? Векторы используют для записи тех величин, которые обыкновенными числами записать невозможно. Допустим, нам необходимо описать положение предмета относительно некоторой точки. Разумеется, мы можем вычислить расстояние между точкой и предметов и записать его обыкновенным числом, но это не будет полной характеристикой. А вот если мы запишем данную величину вектором, то помимо расстояния, мы будем еще знать направление, в котором данный предмет находится относительно заданной точки.

Графически все векторы изображаются, как направленные отрезки определенной заданной длины.

Что же такое свободные векторы? По-другому свободные векторы можно еще назвать и равными. Это такие векторы, у которых совпадает, как модульная величина (то есть отрезок по значению одинаковый), так и направление.

А теперь поговорим не много о действиях над векторами. Зачем вообще придумали слаживать вектора? На самом-то деле, просто решили, что можно вывести один вектор, который бы оказывал тоже воздействие, что и два других вектора. Как вы догадались, два других вектора, это наши слагаемые, а один вектор, который оказывает такое же воздействие – это наша сумма. Вектора складываются несколькими способами, в математики они называются «правилами». Первый – «правило треугольника», второй – «правило «параллелограмма». Стоит отметить и то, что мы можем сложить и три, и четыре , и пять векторов, но делать это надо постепенно, то есть попарно.

Векторы


Координаты вектора с началом в точке A(x 
1
, y 
1
, z 
1
)
и концом в точке B(x 
2
, y 
2
, z 
2
)

AB
 
(x 
2
- x 
1
, y 
2
- y 
1
, z 
2
- z 
1
)
Координаты суммы векторов
a
 
(x 
1
, y 
1
, z 
1
) и
b
 
(x 
2
, y 
2
, z 
2
)

a
 
+
b
 
=
c
 
(x 
1
+ x 
2
, y 
1
+ y 
2
, z 
1
+ z 
2
)

Свойства сложения векторов

a
 
+
b
 
=
b
 
+
a
 
(
a
 
+
b
 
) +
c
 
=
a
 
+ (
b
 
+
c
 
)

a
 
+
0
 
=
a
 

a
 
+ (-
a
 
) =
0
 

Координаты произведения вектора на число
λ *
a
 
(x, y, z) =
c
 
(λx, λy, λz)

Свойства умножения
(λμ)
a
 
= λ(μ
a
 
)
(λ + μ) *
a
 
= λ
a
 
+ μ
a
 
λ(
a
 
+
b
 
) = λ
a
 
+ λ
b
 
0 *
a
 
= λ
0
 
=
0
 

Скалярное произведение векторов

a
 
(x 
1
, y 
1
, z 
1
) и
b
 
(x 
2
, y 
2
, z 
2
)

a
 
*
b
 
= x 
1
x 
2
+ y 
1
y 
2
+ z 
1
z 
2
= |
a
 
| * |
b
 
| * cos(
a
 
,
b
 
)

Косинус угла между векторами

a
 
(x 
1
, y 
1
, z 
1
) и
b
 
(x 
2
, y 
2
, z 
2
)
cos(
a
 
,
b
 
)
=

a

*

b
 
|

a
 
| * |

b
 
|
=
x 
1
x 
2
+ y 
1
y 
2
+ z 
1
z 
2
x2
1
+ y2
1
+ z2
1
* x2
2
+ y2
2
+ z2
2

Свойства скалярного произведения

a
 
*
b
 
=
b
 
*
a
 

a
 
*
a
 
≥ 0

a
 
*
a
 
= |
a
 
|2
 

a
 
(
b
 
+
c
 
) =
a
 
*
b
 
+
a
 
*
c
 

a
 
)
b
 
= λ(
a
 

b
 
)
Длина вектора
a
 
(x, y, z)
|
a
 
| = x2
 
+ y2
 
+ z2
 
Бросок

Проверь удачу, набери 60+

Если тебе трудно сразу понять всю бесконечность, постарайся понять ее хотя бы наполовину.

Славомир Врублевский

Новости математики
15.09.2013

30 секунд, не больше!

Ограничения на решебник остаются, однако не больше 30 секунд. С текущим потоком запросов как-нибудь справимся.

10.09.2013

Решение примеров и задач

Постепенно к этим двум страницам обращаются, в основном школьники, нежели студенты. Это хорошо, поскольку те задачи решаются быстро, а времени у меня не так много. Ответы ждите примерно в вечерние часы, от 20 до 23 по МСК на тех же страницах.

Все запросы я проверяю вручную, и если это не спам и написано доходчиво (как в условие задачи Вашего учебника или под диктовку учителя), то я привожу ответ.