Бином Ньютона – это название формулы, которая позволяет выписывать разложение алгебраической суммы двух слагаемых произвольной степени. Впервые данная формула была предложена Исааком Ньютоном в 1664-1665 годах.
Давайте подробнее рассмотрим содержание формулы.
Коэффициенты данной формулы в математике называются биномиальными коэффициентами. Если n является целым положительным числом, то все коэффициенты превращаются в ноль, при любом r>n. Именно поэтому разложение содержит исключительно конечное число членов. Во всех остальных случаях (если n – неположительное или нецелое число), разложение содержит бесконечное число членов и представляет собой своеобразный биноминальный (бесконечный) ряд. Что касается условий сходимости биноминального ряда, то впервые они были установлены еще в начале 19 века математиком Н. Абелем. Если n – целое положительное число, то биноминальный коэффициент в формуле бинома будет числом комбинаций из n по r. Если значения n невелики, то коэффициенты можно найти с помощью треугольника Паскаля. В данном треугольнике каждое из чисел равняется сумме соседних чисел, что стоят выше, однако стоит отметить, что это не касается единиц. Для заданного n соответствующая строка треугольник паскаля (n-ая строка), будет давать по порядку коэффициенты биноминального разложения n-й степени. В этом совсем нетрудно убедиться, если, например, n=3 или n=2.
Как видите, бином Ньютона совсем не такой страшный, как кажется в начале, если взглянуть на формулу.
Факториал. Теория соединений. Бином Ньютона |
| Определение факториала |
| 1 * 2 * 3 * ... * n = n! |
| Основное свойство факториала |
| n! = n * (n - 1)! |
| Формула Стирлинга (факториалы больших чисел) |
| n! ≈ ( | n
e | ) | n
| √ | 2πn | (1 + | 1
12n | + | 1
2
288n | + ... ) |
|
| ln(n!) ≈ (n + | 1
2 | )ln(n) - n + ln | √ | 2π |
|
Теории соединений |
| Размещения из n по m элементов - соединения, отличающиеся самими элементами или их порядком |
| A | m
n | = | n!
(n - m)! | = n(n - 1)(n - 2) ... (n - m + 1) |
|
| Перестановки - соединения, отличающиеся только порядком элементов |
| P |
n | = n! = 1 * 2 * 3 * ... * n |
|
|
| Сочетания из n по m элементов - соединения, отличающиеся только самими элементами |
| С | m
n | = | n!
m!(n - m)! | = | A | m
n | = | n(n - 1)(n - 2) ... (n - m + 1)
1 * 2 * 3 * ... * m | | P |
m |
|
| Свойства сочетаний |
|
| C | m + 1
n + 1 | = C | m
n | + C | m + 1
n |
|
| C | 0
n | + C | 1
n | + C | 2
n | + ... + C | n - 1
n | + C | n
n | = 2 | n
|
|
Бином Ньютона |
| (a + b) | n
| = a | n
| + C | 1
n | a | n - 1
| b + C | 2
n | a | n - 2
| b | 2
| + ... + C | k
n | a | n - k
| b | k
| + ... + b | n
|
|
| C | 1
n | = n; C | 2
n | = | n(n - 1)
2 | ; C | k
n | = | n!
(n - k)!k! |
|