Рассмотрим основные понятия, которые связанны с решением определенных неравенств, которые включают в себя одну переменную. Например, нам дано неравенство f(x)>g(x). Любое значение переменной, при котором наше неравенство с данной переменной обратится в правильное числовое неравенство, будет называться решением данного неравенства. Что же значит решить неравенство с переменной? Это, конечно же, значит найти абсолютно все его решения, или же доказать, что решений не существует.
Если нам даны два неравенства с одной переменной и их решения совпадают, то такие неравенства будут называться равносильными. Стоит также отметить, что если и у первого, и у второго неравенство с одной переменной нет решений, то данные неравенства также будут равносильными.
Для того, чтобы решить неравенства, следует заменить одно неравенство на другое, более простое, но обязательно равносильное данному. Затем полученное неравенство следует опять заменить более простым и равносильным и т.д. Однако все эти замены следует осуществлять согласно следующим утверждениям:
- Если перенести из одной части неравенства в другую слагаемое, но с противоположным знаком, то мы получим равносильное данному неравенство.
- Если разделить или умножить обе части неравенства с одной переменной на одинаковое положительное число, то мы получим неравенство, которое будет равносильно данному.
- Если разделить или умножить обе части неравенства с одной переменной на одинаковое отрицательное число и при этом поменять знак неравенства, то мы получим неравенство, которое равносильно данному.
На практике, решение неравенств невозможно без знания трех вышеуказанных утверждений, однако, помимо них, существуют еще два утверждения, которые обобщают две последние теоремы.
Свойства неравенств
| Если a > b, то b < a |
| Если a > b, то a + c > b + c |
| Если a > b и c > d, то a + c > b + d |
| Если a > b и c < d, то a - c > b - d |
| Если a > b и m > 0, то am > bm |
| Если a > b и m < 0, то am < bm |
Абсолютная величина числа (модуль)
| Если a ≥ 0, то |a| = a |
| Если a < 0, то |a| = -a |
Некоторые важные неравенства
| |a + b| ≤ |a| + |b| |
| |a - b| ≥ ||a| - |b|| |
| √ | ab | ≤ | a + b
2 | (a > 0, b > 0) |
|
| | | |
n
| √ | a |
1 | a |
2 | ...a |
n | ≤ | a |
1 | + a |
2 | + ... + a |
n | (неравенство Коши) | | n |
|
| 2 : ( | 1
a | + | 1
b | ) ≤ | √ | ab | (a > 0, b > 0) |
|
| | | | | a |
1 | + a |
2 | + ... + a |
n | | | ≤ | √ | a | 2
1 | + a | 2
2 | + ... + a | 2
n | | n | n |
|
| | | |
| a |
1 | b |
1 | + a |
2 | b |
2 | + ... + a |
n | b |
n | ≤ | √ | a | 2
1 | + a | 2
2 | + ... + a | 2
n | * | √ | b | 2
1 | + b | 2
2 | + ... + b | 2
n |
|
Решение неравенства первой степени ax > b
Решение системы неравенств первой степени
| Если a > b, то x > a |
| Если a < b, то x > b |
| Если a > b, то x < b |
| Если a < b, то x < a |
| Если a > b, то система не имеет решения |
| Если a < b, то a < x < b |
| Если a > b, то b < x < a |
| Если a < b, то система не имеет решения |
Решение неравенства второй степени
| Если a > 0, то x < x |
1 | и x > x |
2 |
|
| Если a < 0, то x |
1 | < x < x |
2 |
|
| Здесь x |
1 | и x |
2 | (x |
1 | < x |
2 | ) - действительные корни |
|
| квадратного трехчлена ax | 2
| + bx + c |
|
| Если действительных корней нет, |
|
| то неравенство ax | 2
| + bx + c > 0 | | - справедливо для всех x при a > 0 ; | | - не имеет решений при a < 0 |
|