Прогрессии – это определенные последовательности числе, которые получаются по определенному правилу. Сам термин «прогрессия» на сегодняшний день несколько устарел, поэтому встречается, в основном, в словосочетании «геометрическая прогрессия» и «арифметическая прогрессия». Рассмотрим подробнее каждую из них.
Арифметическая прогрессия является последовательностью чисел, где каждый следующий член образовывается в результате прибавления к нему одного и того же числа. Это числа называется равностью арифметической прогрессии. Равность арифметической прогрессии может быть, как положительной, так и отрицательной.
Геометрическая прогрессия является последовательностью чисел, где каждый следующий член умножается на определенное постоянное число. это число называется знаменателем данной прогрессии.
Однако, помимо арифметической и геометрической, существуют еще и другие виды прогрессий. Если величины, обратные числам прогрессии, образовывают арифметическую прогрессию, то она называется гармонической прогрессией.
Как правило, в арифметической прогрессии разности между членами постоянны. Если же данные разности не постоянны, а постоянство наблюдается у разности разностей, то такую прогрессию называют арифметической прогрессией второго порядка.
Прогрессии |
| Арифметическая прогрессия |
| Формула n-го члена |
|
| Сумма n первых членов |
S |
n |
= | a |
1 | + a |
n |
n = | 2a |
1 | + d(n - 1) |
n | | 2 | 2 |
|
| Свойства |
| a |
1 | + a |
n | = a |
2 | + a |
n - 1 | = ... = a |
k + 1 | + a |
n - k |
|
|
| Если d > 0, то прогрессия возрастающая |
| Если d < 0, то прогрессия убывающая |
Геометрическая прогрессия |
| Формула n-го члена |
|
| Сумма n первых членов |
S |
n |
= | b |
n | q - b |
1 |
= b |
1 | 1 - q | n
| | q - 1 | 1 - q |
|
| Свойства |
| b |
1 | * b |
n | = b |
2 | * b |
n - 1 | = ... = b |
k + 1 | * b |
n - k |
|
|
| Если q > 1, то прогрессия возрастающая |
| Если 0 < |q| < 1, то прогрессия убывающая |
| Если q < -1, то прогрессия знакопеременная |
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии (0 < |q| < 1) |
|
|