Система уравнений

Рассмотрим, что же такое система уравнений с двумя переменными, а также равносильные системы уравнений.

Например, нам даны два уравнения, которые имеют две переменные f(x;y) = 0 и g (x;y) = 0.

Решить систему уравнений – это значит найти абсолютно все общие решения двух данных уравнений, которые имеют две переменные. Каждая пара значений данных переменных, которые обращают каждое уравнение нашей системы в верное равенство и будут решением системы уравнений. Проще говоря, решить систему уравнений – это значит найти абсолютно все ее решение, или же доказать, что этих решений не существует.

Уравнения, которые образуют систему, как правило, объединяют фигурной скобкой.

Если две системы уравнений имеют одни и те же решения, то такие системы называются равносильными. Тоже касается и тех систем, которые не имеет решений. Для того, чтобы решить систему уравнений, в большинстве случаев пользуются «способом замены», то есть заменяют данную систему уравнений на более «удобную» или легкую, но, при этом. обязательно равносильную. Что касается возможности такой замены, то она обуславливается двумя теоремами:

1. Допустим, дана система двух уравнений, которые имеют две переменные. Если оставить одно уравнений системы и не изменять его, а второе уравнение системы заменять равносильными, то мы получим систему, которая будет равносильна данной. Следствием данной теоремы является то, что, если каждое уравнение заданной системы заменять равносильными, то получим систему, которая будет равносильна данной.
2. Допустим, дана система двух уравнений, которые имеют две переменные. Если оставить одно уравнение системы и не изменять его, а второе уравнение заменить разностью или суммой обоих уравнений системы, то полученная система уравнений будет равносильна данной.

Решение уравнения первой степени ax = b

x =

b a

(a ≠ 0)

Решение системы двух уравнений первой степени

{	ax + by = c
	dx + ey = f

{	x =	ce - fb	(ae - db ≠ 0)
		ae - db
	y =	af - dc
		ae - db

либо через определители

x =	|	c  b f  e	|	;		y =	|	a  c d  f	|
	|	a  b d  e	|				|	a  b d  e	|

Формула корней квадратного уравнения

ax2 + bx + c = 0

ax2 + bx + c = 0

x1,2 =	-b ±	√	b2 - 4ac
	2a

Формула приведенного квадратного уравнения

x2 + px + q = 0

x1,2 =

-

p 2

±

1 2

√

p2- 4q

Теорема Виета для квадратного уравнения

ax2 + bx + c = 0

x1 + x2 = -

b a

;  x1 * x2 =

c a

Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения

x2 + px + q = 0

x1 + x2 = -p;  x1 * x2 = q

Теорема Виета для приведенного кубического уравнения

x3 + px2 + qx + r = 0

x1 + x2 + x3 = -p;

x1x2 * x2x3 * x1x3 = q;

x1x2x3 = -r

Разложение на множители квадратного трехчлена

ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2),

где x1 и x2 - корни уравнения ax2 + bx + c = 0

Выделение квадрата двучлена из квадратного трехчлена

ax2 + bx + c = a(x +

b 2a

)2 +

4ac - b2   4a

Решение биквадратного уравнения

ax4 + bx2 + c = 0

x1,2 = ±	√	-b + √b2 - 4ac
	2a

x3,4 = ±	√	-b - √b2 - 4ac
	2a

Формула действительного корня неполного кубического уравнения

y3 + py + q = 0

y = 3√

- q 2 + √ q2 4 + p3 27

+ 3√

- q 2 - √ q2 4 + p3 27