Треугольник Паскаля – это, несомненно, самая известная, а также изящная числовая схема во всей математике. Французский философ и математик Блез Паскаль посвятил данному треугольнику ни много ни мало, а целый «Трактат об арифметическом треугольнике». Хотя данная таблица была известна намного раньше, чем 1665 год (именно в этом году вышел «Трактат об арифметическом треугольнике»). Например, в 1529 году данная треугольная таблица была воспроизведена на титульном листе одного из учебников по арифметике, который написал астроном Петр Апиан. Также интересным является и тот факт, что Омар Хайям, который был не только поэтом и философом, но и математиком, знал о существовании данного треугольника. И, заметьте, это был аж 1100 год. Сам Омар Хайям позаимствовал знания о треугольнике Паскаля у более ранних индийских и китайских источников. Все это говорит о том, что треугольник был открыт намного раньше и пользовались им еще издавна.
Рассмотрим подробнее саму треугольную таблицу и ее составляющие. Треугольник Паскаля является бесконечной числовой таблицей, которая имеет треугольную форму. На вершине треугольника и по его бокам стоят единицы, а в середине находятся числа, величина которых равняется сумме двух соседних чисел, которые стоят слева и справа над ними. Стоит отметить и то, что данная таблица имеет симметрию оси, которая проходит через вершину треугольника.
Остановимся непосредственно на свойствах треугольника Паскаля (которых, в общей сложности три):
- Сумма чисел n-ой строки равняется 2n (это связано с тем, что при переходе от предыдущей строки к следующей сумма членов каждой строки удваивается, а для нулевой строки она равняется 20=1).
- Все строки треугольника Паскаля абсолютно симметричны.
- Каждый член строки под номером n будет делиться на число t, только лишь тогда, когда t будет являться простым числом, а n – его степенью.