Комплексные числа

Любое комплексное число можно описать как несколько чисел, в составе которых есть действительная часть и мнимая.

Комплексные числа

Вид комплексного числа

z = x + iy

где x, y - действительные числа, i - мнимая единица

i 2   = -1

Re z = x - действительная часть комплексного числа Im z = y - мнимая часть комплексного числа

Равенство комплексных чисел

z   1 = z   2   ⇔  Re z   1 = Re z   2   и  Im z   1 = Im z   2

Геометрическое изображение комплексных чисел. Точка M(x, y) изображает число x + yi

Модуль комплексного числа |z| = r = OM = √ x 2   + y 2   Аргумент комплексного числа Arg z = arg z + 2πk (k = 0,1,2, ...), где arg z = φ = ∠NOM = = arctg y x - главное значение аргумента

Тригонометрическая форма записи комплексного числа

x + yi = r(cosφ + isinφ)

Комплексно-сопряженные числа

z = x + iy   и    z = x - iy

Действия с комплексными числами

z   1 + z   2 = (x   1 + x   2 ) + i(y   1 + y   2 )

z   1 - z   2 = (x   1 - x   2 ) + i(y   1 - y   2 )

z   1 z   2 = (x   1 x   2 - y   1 y   2 ) + i(x   1 y   2 + x   2 y   1 )

z   1 z   2 = x   1 x   2 + y   1 y   2 x 2 2 + y 2 2 + i * x   2 y   1 - x   1 y   2 x 2 2 + y 2 2      (z   2 ≠ 0)

В частности, Re z = 1 2 (z + z ),   Im z =   1   2i (z - z ),   |z| 2   = z z

Теоремы о модуле и аргументе

|z   1 + z   2 | ≤ |z   1 | + |z   2 |

|z   1 z   2 | = |z   1 | |z   2 |,     Arg z   1 z   2 = Arg z   1 + Arg z   2

z   1 z   2 = |z   1 | |z   2 | ,     Arg z   1 z   2 = Arg z   1 - Arg z   2    (z   2 ≠ 0)

|z n   | = |z| n   ,      Arg z n   = n Arg z (n - целое)

Корень из комплексного числа

n   √ z = n   √ |z| (cos arg z + 2kπ n + i * sin arg z + 2kπ n )    (k = 0,1,2, ... ,n - 1)

Показательная форма записи комплексных чисел

z = r*e iφ   ,

где r = |z| и φ = Arg z

Формула Эйлера

e iφ   = cosφ + i*sinφ

Произведение и частное комплексных чисел

z   1 z   2 = r   1 r   2 e i(φ     1   +φ     2   )   = r   1 r   2 (cos(φ   1 + φ   2 ) + i*sin(φ   1 + φ   2 ))

z   1 z   2 = r   1 r   2 e i(φ     1   -φ     2   )   = r   1 r   2 (cos(φ   1 - φ   2 ) + i*sin(φ   1 - φ   2 ))    (z   2 ≠ 0)