В некоторых случаях, для того, чтобы узнать делится ли какое-либо натуральное число m на натуральное число n без остатка, не обязательно делить данные числа. Достаточно знать некоторые признаки делимости. Существует две теоремы о делимости и пять признаков делимости.
Теорема о делимости произведения: если в данном произведении хоть один из сомножителей можно поделить на определенное число, то и все произведение будет делиться на это же число.
Теорема о делимости суммы: если каждое слагаемое определенной суммы делится на данное число, то и вся сумма будет делиться на это же число. Однако не стоит думать, что если слагаемые не делятся на какое-либо определенное число, то и сумма делиться на него не будет. Взять, к примеру, 19+37, в сумме данные числа дают число 56, которое делится на 4, но ведь ни 19, ни 37 на 4 не делятся.
Признаки делимости
Признак делимости на 2. Число, делящееся на 2, называется четным, не делящееся - нечетным. Число делится на 2, если его последняя цифра четная или нуль. В остальных случаях не делится (2, 4, 16, 20, 3172...).
Признак делимости на 4. Число делится на 4, если две последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 4. В остальных случаях не делится (4, 8, 24, 1200, 23516,...).
Признак делимости на 8. Число делится на 8, если три последние цифры нули или образуют число, делящееся на 8. В остальных случаях не делится (8, 16, 88, 1000, 47128,...).
Признак делимости на 3 и на 9. На 3 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 3; на 9 - только те, у которых сумма цифр делится на 9 (3, 6, 27, 123, 3321,... и 9, 18, 81, 729, 218493,...).
Признак делимости на 6. Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3. В остальных случаях не делится (6, 12, 36, 216, 66342,...).
Признак делимости на 5. На 5 делятся числа, последняя цифра которых 0 или 5. Другие не делятся (5, 15, 30, 420, 12345,...).
Признак делимости на 25. На 25 делятся числа, две последние цифры которых нули или образуют число, делящееся на 25 (т.е числа, оканчивающиеся на 00, 25, 50 или 75). Другие числа не делятся (25, 75, 200, 625, 25850,...).
Признак делимости на 10, 100 и 1000. На 10 делятся только те числа, последняя цифра которых нуль, на 100 - только те числа, у которых две последние цифры нули, на 1000 - только те, у которых три последние цифры нули (10, 20, 300, 4020, 505010,..., 100, 200, 1100, 51500,..., 1000, 3000, 55000, 439000,...).
Признак делимости на 11. На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, занимающих нечетные места, либо равна сумме цифр, занимающих четные места, либо отличаются от нее на число, делящееся на 11 (11, 22, 132, 616, 5786,...).