Расширением исчисления функций переменной является многомерный анализ, когда происходит дифференциальное исчисление функций нескольких переменных – функции, которые интегрируются и дифференцируются, затрагивают не одну, а несколько переменных.
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных подразумевает проводить следующие типичные операции:
1. Непрерывность и пределы.
Ко многим патологическим и нелогичным результатам, которые не свойственны функции одной переменной, приводит исследование непрерывности и пределов в многомерных пространствах. К примеру, имеются двух переменных скалярные функции, имеющие в области определения точки, которые дают специфический предел при приближении вдоль прямой, а при приближении вдоль параболы дают совершенно иной предел. К нулю функция стремится к нулю при прохождении по любой прямой, которая проходит через начало координат. В связи с тем, что пределы не совпадают по различным траекториям, единого предела не существует.
При стремлении переменных х, функция пределом имеет определенное число. Если предельное значение функции в определенной точке существует и равняется частному значению функции, то такая функция называется непрерывной в данной точке. Если функция непрерывна на множестве точек, то тогда она называется непрерывной на множестве точек.
2. Нахождение частной производной.
Под частная производной нескольких переменных подразумевается производная одной переменной, а константами считаются все остальные переменные.
3. Кратное интегрирование.
На функции многих переменных кратный интеграл расширяет понятие интеграла. Для вычисления объемов и площадей областей в пространстве и плоскости используются интегралы двойные и тройные. Согласно теоремы Тонелли-Фубини, кратный интеграл также может вычислен быть, как повторный интеграл.
Все это позволяет производить дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
| Частные производные функции u = f(x, y, z...) по переменным x, y, z... | |||||||||||||||||
| |||||||||||||||||
| |||||||||||||||||
| |||||||||||||||||
Полный дифференциал функции u = f(x, y, z...) от независимых переменных x, y, z... | |||||||||||||||||
| |||||||||||||||||
Касательная плоскость к поверхности z = f(x, y) | |||||||||||||||||
| Z - z = p(X - x) + q(Y - y) , | |||||||||||||||||
| где X, Y, Z - текущие координаты; x, y, z - координаты точки касания; | |||||||||||||||||
| |||||||||||||||||
Касательная плоскость к поверхности F(x, y, z) = 0 | |||||||||||||||||
| |||||||||||||||||
Нормаль к поверхности F(x, y, z) = 0 в точке M(x, y, z) | |||||||||||||||||
| |||||||||||||||||
Градиент скалярного поля u = f(x, y) есть вектор | |||||||||||||||||
| |||||||||||||||||
Модуль градиента | |||||||||||||||||
| |||||||||||||||||
