Производная и дифференциал

Дифференциальное исчисление – это раздел математики, который исследует свойства функций, которые заданы на интервалах (сплошных множествах), с помощью определения предела функций.

Свойство непрерывности свидетельствует о том, что точке х₀ при малом отклонении аргумента Δx от х₀ функция отклоняется мало. В связи с этим, непрерывную функцию в окрестности точки х₀, приближенно можно заменить константой, значением в х₀. В таком случае, при Δx?0 к нулю стремится абсолютная ошибка приближения. Однако данная аппроксимация не отражает изменения функции при переходе переменной х в точке 0 – убывая или возрастая, медленно или быстро. Для того, чтобы это выяснить и введены производная и дифференциал, которые и дают более точную аппроксимацию функции в окрестности х₀ линейной функцией, а не константой. Производная и дифференциал отражает величину и тенденцию изменения в точке х₀ функции.

Производная и дифференциал на наглядном примере выглядит так. Возьмем функцию y = f ( x), которая имеет действительные значения и задана на оси R. Внутреннюю точку x₀ ε I фиксируем и берем еще любую точку xεI . Приращением независимой переменной в точке х₀ является разность Δx = x - x₀. Предел разностного отношения, при котором х стремится к х0 называется производной функции f (x) в точке х₀.

Функция, для которой возможно разложение, называется дифференцируемой в точке х₀. Дифференциалом функции f в точке х₀ называется слагаемое f’ (х₀)(х-х₀). Таким образом, наличие в точке производной эквивалентно и дифференцируемости в этой же точке.

Дифференциал также имеет и специальное обозначение:

df(x₀)=dy(x₀)= f’ (х₀)(х-х₀)

Создано дифференциальное исчисление одновременно, а также независимо друг от друга Готфиридом Вильгельмом Лейбницем и Исааком Ньютоном.