Предел функции является в математическом анализе одним из основных понятий. Функция f(x) в точке х0 предел имеет L. Если все значения х достаточно близки к х0, то близко к L и значение f(x).
На бесконечности предел функции описывает поведение значения самой функции, когда аргумент ее становится бесконечно большим.
Предел функции обозначается в виде f(x) → L в случае, если х→а
К основным свойствам пределов функции относят:
- предел постоянной величины, который равен самой постоянной величины;
- предел суммы, который равен сумме пределов самих функций. Также по аналогии и предел разности функций равен разности пределов данных функций;
- предел суммы множества функций равен также сумме пределов таких функций. По аналогии рассчитывает и предел нескольких функций, который равен разности пределов данных функций;
- повышение предела произведения функции (постоянного коэффициента) на знак предела;
- произведению пределов функций равен предел произведения двух функций;
- расширенное свойство предела произведения, которое в том заключается, что предел произведения функций равен и произведению пределов данных функций;
- предел частного функций равен отношению пределов данных функций, но только в том случае, если предел знаменателя нулю не равен;
- предел функции степенной, где действительным числом является степень р;
- предел функции показательной, при которой основание b больше 0;
- предел функции логарифмической, в которой основание b больше 0;
- теорема «двух милиционеров», при которой «зажатой» остается функция f(x)между другими двумя функции, которые также стремятся к пределу А.
Все перечисленные свойства пределов позволяют исходный предел функции свести к уже известному, чтобы получить ответ.
Определение и свойства пределов | ||||||||||||||
Число b называется пределом функции f(x) при x → a, если для любого ε > 0 сущестувует δ > 0 такое, что для любого x из δ-окрестности a (|x - a| < δ) выполняется |f(x) - f(a)| < ε. | ||||||||||||||
Запись: ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : |x - a| < δ => |f(x) - f(a)| < ε | ||||||||||||||
Обозначение | ||||||||||||||
| ||||||||||||||
Свойства пределов | ||||||||||||||
| ||||||||||||||
| ||||||||||||||
| ||||||||||||||
| ||||||||||||||
Замечательные пределы | ||||||||||||||
| ||||||||||||||
| ||||||||||||||
e = 2,718281828459045235360287471352662497757... | ||||||||||||||
Связь между десятичными и натуральными логарифмами | ||||||||||||||
lg(x) = M ln(x), | ||||||||||||||
где M = lg(e) = 0,43429448190325182765112891891666... |