Дифференциальные уравнения второго порядка

Интегрируемые случаи дифференциального уравнения второго порядка:

1) Если y'' = f(x),

то общее решение

y =

∫

f(x)dx + C

x + C

;

2) Если y'' = f(y),

то общий интеграл

∫

√

∫

f(y)dy + C

= ± (x + C

) ;

3) Если y'' = f(y'),

то общий интеграл уравнения может быть найден из соотношения

∫

dp
f(p)

= x + C

, где y' = p.

Случаи понижения порядка для дифференциального уравнения второго порядка:

1) Если y'' = f(x, y'),

то, полагая y' = p(x), получаем

dp
dx

= f(x, p) ;

2) Если y'' = f(y, y'),

то, полагая y' = p(y), получаем

dp
dy

= f(y, p) .

Общее решение линейного однородного дифференциального
уравнения второго порядка y'' + p(x)y' + q(x)y = 0

y = C

+ C

где y

и y

- линейно независимые частные решения.

Общее решение линейного неоднородного дифференциального
уравнения второго порядка y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)

y =

+ z ,

где

− общее решение соответствующего однородного уравнения,

z - частное решение данного неоднородного уравнения.

Общий вид решений однородного уравнения y'' + py' + qy = 0
(p и q постоянны) в зависимости от корней характеристического уравнения

+ pk + q = 0

Характер корней k	1	и k	2
характеристического уравнения

Вид общего решения

Корни k	1	и k	2
действительные и
различные

y = C

k	1	x

+ C

k	2	x

Корни равные:
k	1	=	k	2

y = (C

+ C

x)e

k	1	x

Корни комплексные:
k	1	= α + iβ ,
k	2	= α - iβ

y = e

αx

cos βx + C

sin βx)

Характер частного решения z неоднородного уравнения y'' + py' + qy = f(x)
(p и q постоянны) в зависимости от правой части f(x)
(A, B, C - постоянные неопределенные коэффициенты).

Правая часть f(x)

Случаи

Частное решение

f(x) = ae

(a, m - const)

1) m	2	+ pm + q ≠ 0,
2) m	2	+ pm + q = 0.
a) p	2	- 4q >0,
б) p	2	- 4q = 0

z = Ae

z = Axe

z = Ax

f(x) = Mcos ωx + Nsin ωx
(M, N, ω - const; ω ≠ 0)

1) p

+ (q - ω

)

≠ 0,

2) p = 0, q = ω

z = Acox ωx + Bsin ωx ,
z = x(Acos ωx + Bsin ωx)

f(x) = ax

+ bx + c

(a, b, c - const)

1) q ≠ 0,
2) q = 0, p ≠ 0

z = Ax

+ Bx + C ,

z = x(Ax

+ Bx + C)