Добавить задачу

Теория вероятностей


Сумма двух событий A и B

A + B = A ∪ B
− событие, которое имеет место тогда и только тогда,
когда осуществляется хотя бы одно из событий A и B

Произведение двух событий A и B

AB = A ∩ B
− событие, которое имеет место тогда и только тогда,
когда происходит как событие A, так и событие B

Вероятность события А
P(A) =  m 
n		    (0 ≤ P(A) ≤ 1)
− отношение числа m благоприятных для события A равновозможных
элементарных исходов к числу n всех единственно возможных и
равновозможных элементарных исходов.

Вероятность противоположного события

P(A) = 1 - P(A)

Теорема сложения для двух несовместных событий A и B
P(A + B) = P(A) + P(B)

В общем случае
P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)

Теорема умножения вероятностей

P(AB) = P(A) P 
A		(B) ,
где P 
A		(B) - соответствующая условная вероятность события B

Если события A и B независимы, то
P(AB) = P(A) P(B)

Формула полной вероятности
P(A) = n
∑
i = 1		P(H 
i		)P
 
H 
i
(A) ,
где H 
1		, H 
2		, ..., H 
n		 - полная группа гипотез:
A = n
∑
i = 1		H 
i		A,   H 
i		H 
j		 = 0  при i ≠ 1 , n
∑
i = 1		P(H 
i		) = 1

Формула Бейеса
P 
A		(H 
i		) =
P(H 
i		) P
 
H 
i
(A)
n
∑
j = 1		P(H 
j		) P
 
H 
j
(A)
(i = 1, 2, ..., n),  где H 
1		, H 
2		, ..., H 
n		 - полная группа гипотез:

Бином Ньютона
(q + p)n
 		 = qn
 		 + C1
n		qn - 1
 		p + C2
n		qn - 2
 		p2
 		 + ... + pn
 

Биномиальный закон распределения.
В условиях схемы Бернулли вероятность появления события A
при n-испытаниях точно m-раз (0 ≤ n)равна
P 
n		(m) = Cm
n		pm
 		pn - m
 		 =       n!      
m!(n - m)!		pm
 		qn - m
 		 ,
где P(A) = p,  P(A) = q = 1 - p   при однократном испытании.

Локальная формула Лапласа
P 
n		(m) ≈
1
√
2πnpq
e
-
 
t2
 
2
 
 
 
где 0 ≤ p ≤ 1,  q = 1 - p,  t = (npq)
- 1 
2
 
 
 * (m - np)

Интегральная формула Лапласа
P(m 
1		 ≤ m ≤ m 
2		) ≈ Ф 
0		(t
 
m 
2
) - Ф 
0		(t
 
m 
1
) ,
где
t 
m		 = (npq)
- 1 
2
 
 
 * (m - np),   Ф 
0		(x) =
1
√2π
x
0
e
-
 
t2
 
2
 
 
 
dt

Формула Пуассона
P 
n		(m) ≈
μm
 
m!
 
e-μ
 		 ,
где μ = np, причем вероятность p мала.

Математическое ожидание дискретной случайной величины
X = {x 
1		, x 
2		, ..., x 
n		} ,
где p 
i		 = P(X = x 
i		) (i = 1, 2, ..., n), n
∑
i = 1		p 
i		 = 1, есть
M(X) = n
∑
i = 1		x 
i		p 
i

Основные свойства математического ожидания

M(C) = C

M(CX) = CM(X)

M(X + Y) = M(X) + M(Y)

M(XY) = M(X) M(Y)

M(X - Y) = M(X) - M(Y)

где события X и Y независимы

Дисперсия дискретной случайной величины X
D = M{ [X - M(X)]2
 		 } = M(X2
 		) - [M(X)]2
 

Основные свойства дисперсии

D(C) = 0

D(X ± Y) = D(X) + D(Y)
D(CX) = C2
 		D(X) ,

где события X и Y независимы.

Для биномиального закона распределений числа
появлений X события A при n-испытаниях имеем:
P(X = m) = Cm
n		pm
 		qn - m
 		 (m = 0, 1, 2, ..., n) ,
p = P(A), q = P(A);   M(X) = np;   D(X) = npq

Функция распределения для непрерывной случайной величины X
Ф(x) = P(-∞ < X < x) =
x
-∞
φ(t)dt ,
где (-∞ < x < +∞),   φ(x) - плотность вероятности.

Математическое ожидание для непрерывной случайной величины X
M(x) =
+∞
-∞
x φ(x)dx

Дисперсия для непрерывной случайной величины X
D(x) =
+∞
-∞
(x - M(X))2
 		φ(x)dx

Для нормального закона распределения случайной
величины X плотность вероятности имеет вид
φ(x) =
 
1
σ√2π
e
−
 
 
(x - x 
0		)2
 
2σ
 
 		2
 
 
 
 
 ,
где x 
0		 = M(X),  σ = √D(X)
При этом
P(a ≤ x ≤ b) = Ф 
0		(
b - x 
0
σ
 
) - Ф 
0		(
a - x 
0
σ
 
) ,
где Ф 
0		(x) - стандартный интеграл вероятностей.