Четырехугольник

Четырехугольник – это фигура, состоящая из четырех точек и четырех отрезков, которые последовательно соединяют данные точки. Стоит отметить, что в четырехугольнике три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а отрезки, которые эти точки соединяют, ни в коем случае не могут пересекаться, как и в треугольнике, точки четырехугольника называются вершинами, а отрезки, которые соединяют точки – сторонами. Обозначается четырехугольник его вершинами.

Если вершины четырехугольника являются концами одной из его сторон, то такое вершины называются соседними. Вершины же, что не являются соседними, имеют название противолежащие вершины.

Практически аналогичная ситуация и со сторонами четырехугольника. Если две стороны выходят из одной вершины, то они будут называться соседними. А если стороны не имеют общего конца, то они будут носить название противолежащие.

Четырехугольники могут быть выпуклыми и невыпуклыми. Давайте разберемся, в каком же случае он будет выпуклым, а в каком нет. Выпуклым считается четырехугольник, который расположен в одной полуплоскости относительно заданной прямой, что содержит любую его сторону. Сама прямая, при этом также принадлежит этой же полуплоскости. Если четырехугольник не соответствует данному определению, то логично предположить, что он невыпуклый.

Если мы проводим диагонали в четырехугольнике, и они пересекаются, причем точка пересечения делит данные диагонали пополам, то мы имеем дело с параллелограммом. Также стоит отметить и тот факт, что противолежащие стороны и противолежащие углы параллелограмма абсолютно равны. Знание данных свойств четырехугольника, несомненно, помогает нам в решении геометрических задач и не только.

Четырехугольники

Параллелограмм

S = ah   a = bh   b S = absinα S = 1 2 d   1 d   2 sinφ P = 2(a + b) d 2 1 + d 2 2 = 2(a 2   + b 2   )

Прямоугольник

S = ab = 1 2 d 2   sinφ R = 1 2 d = 1 2 √ a 2   + b 2   P = 2(a + b)

Ромб

S = ah = a 2   sinα = 1 2 d   1 d   2 d   1 = 2acos α 2 d   2 = 2asin α 2 d 2 1 + d 2 2 = 4a 2   r = 1 2 h = 1 2 asinα P = 4a

Квадрат

S = a 2   = 1 2 d 2   P = 4a d = a √ 2 R = 1 2 d = a 2 √ 2 r = 1 2 a

Трапеция

S = a + b 2 h = 1 2 d   1 d   2 sinφ Средняя линия MN = 1 2 (a + b)

Произвольный выпуклый четырехугольник

α + β + γ + δ = 360°, где α, β, γ, δ - внутренние углы четырехугольника. a 2   + b 2   + c 2   + d 2   = d 2 1 + d 2 2 + 4m 2   , где m - отрезок, соединяющий середины диагоналей. S = 1 2 d   1 d   2 sinφ