Многогранники

Многогранник является поверхностью, которая состоит из нескольких многоугольников, ограничивающих некоторое геометрическое тело. Самые первые упоминания о таких геометрических фигурах, как многогранники, известные издавна, около трех тысяч лет до нашей эры в Вавилоне и Египте. Однако теория многогранников также является и современным разделом математики. Данная теория очень тесно связана с теорией графов, топологией, имеет огромное значение для теоретических исследований, которые проводятся в геометрии, а также для практических приложений в других отраслях математики, например в теории чисел, алгебре и прикладной математике (к которой относятся линейное программирование, а также теории оптимального управления).

Многогранники обладают довольно красивой формой, например звездчатые, полуправильные и правильные многогранники. Также они имеют очень богатую и интересную историю. Многогранники связаны с такими именами ученых, как Евклид, Архимед и Пифагор.

Стоит, конечно же, остановится на удивительных свойствах этих фигур. Самое знаменитое свойство многогранников было сформулировано в теореме Эйлера, которая гласит числе граней, вершин и ребер. Выглядит данная теорема так: Г+В-Р=2, где Р – число ребер, В- число вершин, а Г 9как вы, наверное догадались) – число граней. Интересно, что историки, изучающие математику, называют теорему Эйлера первой теоремой топологии, которая является, на сегодняшний день, крупным разделом математики.

Интерес человека к многогранникам может быть объясним также симметрией, ведь многогранники в неком своем роде можно назвать символами симметрии, которая издавна привлекала внимание древних мыслителей.

Многогранники

Обозначения

V - объем;

S   полн - площадь полной поверхности;

S   бок - площадь боковой поверхности;

S   осн - площадь основания;

P   осн - периметр основания;

P   ⊥ - периметр перпендикулярного сечения;

l - длина ребра;

h - высота.

Призма

S   бок = P   ⊥ l S   полн = 2S   осн + S   бок V = S   осн h -прямая призма- S   бок = P   осн l V = S   осн l

Параллелипипед

S   полн = 2(ab + bc + ac) V = abc d 2   = a 2   + b 2   + c 2

Куб

S   полн = 6a 2   V = a 3   d 2   = 3a 2

Пирамида

V = 1 3 S   осн h

Правильный тетраэдр (основание - равносторонний треугольник)

S   полн = a 2   √ 3

V = a 3   √ 2 12

h = a √ 2 3

Радиус описанной сферы

R = 3 4 h

Радиус вписанной сферы

r = 1 4 h

Правильная пирамида

S   бок = 1 2 P   осн k,

где P   осн - периметр основания, k - апофема.

Усеченная пирамида

V = 1 3 h (S   1 + √ S   1 S   2 + S   2 ), где S   1 и S   2 - площади оснований.   S     бок   = S   1 - S   2 , cosα

где α - двугранный угол при ребре нижнего основания.

Формула Эйлера

N - L + F = 2,

где N - число вершин, L - число ребер, F - число граней выпуклого многогранника.