Правильные многогранники

История правильных многогранников уходит в очень и очень глубокую древность. Правильными многогранниками интересовался еще Пифагор, а также его ученики. Что же такое было в этих фигурах, которые привлекали внимание ученых? Конечно же, в первую очередь, всех поражала их красота, гармония и совершенство. Ученики школы Пифагора считала правильные многогранники божественными фигурами, поэтому и использовали в своих работах по философии следующие обозначения: огонь – тетраэдр, земля – куб, воздух – октаэдр, вода – икосаэдр. Что же касается вселенной, то ей приписывали форму додекаэдра. Несколько позже, учение про правильные многогранники, которые имели популярность в школе Пифагора, изложил в своих работах Платон. Именно поэтому правильные многогранники имеют другое название – Платоновы тела.

В природе существует пять видов правильных многогранников: тетраэдр, куб (гексаэдр), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Наверняка вы зададитесь вопросом, почему же многогранники получили такие имена? На самом деле все довольно просто. Например, гексаэдр имеет 6 граней, «гекса» в переводе с греческого «шесть», а «эдрон» - грань. Тоже касается и других названий.

Так давайте определимся, что же такое правильный многогранник. Правильный многогранник – это, в первую очередь, геометрическая фигура, обычный многогранник, но у которого все грани правильные, многоугольники равные, а двойные углы равны. Однако существуют еще и такие многогранники, у которых все грани правильные, но являются разноименными многогранниками, а многогранные углы равны. Такие многогранники называются равноугольно-полуправильными. Стоит отметить, что есть также, так называемы, звездчатые правильные многогранники, которые еще называются телами Кеплера-Пуансо.

Правильные многогранники

Обозначения

a - ребро многогранника;

V - объем;

S - площадь боковой поверхности;

R - радиус описанной сферы;

r - радиус вписанной сферы;

H - высота.

Тетраэдр

S = a

√

V =	a	3	√	2
	12

R =	a	√	6
	4

r =	a	√	6
	12

H =	a	√	6
	3

Куб

S = 6a

V = a

R =	a	√	3
	2

r =

a
2

H = a

Октаэдр

S = 2a

√

V =	a	3	√	2
	3

R =	a	√	2
	2

r =	a	√	6
	6

Додекаэдр


S = 3a	2	√	5(5 + 2	√	5	)

V =	a	3	(15 + 7	√	5	)
V =	4

R =	a	√	3	(1 +	√	5	)
R =	4


r =	a	√	10(25 + 11	√	5	)
	20

Икосаэдр

S = 5a

√

V =	5a	3	(3 +	√	5	)
V =	12


R =	a	√	2(5 +	√	5	)
	4

r =	a	√	3	(3 +	√	5	)
r =	12