Тела вращения

Тела вращения – это объемные тела, которые возникают при вращении некой плоской фигуры, которая, в свою очередь, ограничена кривой и крутится вокруг оси, лежащей в той же плоскости.

Какие же основные тела вращения существуют?

1. Шар. Это геометрическая фигура, которая образована в результате вращения полукруга вокруг диаметра разреза.
2. Цилиндр. Это геометрическая фигура, которая образована в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон.
3. Конус. Это геометрическая фигура, которая образована в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из своих катетов.
4. Тор. Это геометрическая фигура, которая образована в результате вращения окружности вокруг прямой, при этом окружность прямую не пересекает.

Стоит отметить такой интересный факт, что если вращаются контуры фигур, то у нас возникает поверхность вращения. Пример – сфера, которая образовывается в результате вращения окружности. Если же вращаются заполненные контуры, то у нас возникают тела. например, шар, который образовывается в результате вращения круга 9а круг. как всем известно, тело заполненное).

Тела вращения, разумеется, имеют свой объем и свою площадь. И то и другое, можно узнать с помощью теорем Гульдина-Паппа.

Первая теорема гласит о том, что площадь поверхности линии, которая образуется при вращении и лежит целиком в плоскости по одну сторону от оси вращения, равняется произведению длины линии на длину окружности, пробегаемой центром масс этой линии.

Вторая теорема говорит о том, что объем тела, который образуется при вращении фигуры и лежит целиком в плоскости по одну сторону от оси вращения, равняется произведению площади фигуры на длину окружности, пробегаемой центром масс этой фигуры.

Тела вращения

Цилиндр

S   бок = 2πRh S   полн = 2πR 2   + 2πRh V = πR 2   h

Конус

S   бок = πRl S   полн = πR(R + l) V = 1 3 πR 2   h

Усеченный конус

S   бок = πl(R + r) S   полн = S   бок + π(R 2   + r 2   ) V = 1 3 πh(R 2   + Rr + r 2   )

Шар

S   сферы = 4πR 2   = πd 2   V = 4 3 πR 3   = 1 6 πd 3

Шаровой сектор

S = πR(2h + a) V = 2 3 πR 2   h

Шаровой сегмент

a 2   = h(2R - h) S   бок = 2πRh = π(a 2   + h 2   ) S   полн = π(2Rh + a 2   ) = π(h 2   + 2a 2   ) V = πh 2   (R - h 3 )

Шаровой пояс(слой)

V = 1 6 πh 3   + 1 2 π(a 2 1 + a 2 2 )h