Треугольник

Треугольник – это фигура, состоящая из трех точек и трех отрезков, при этом три точки не лежат на одной прямой, а три отрезка попарно эти точки соединяют. Если быть точнее, то точки треугольника называются его вершинами, а отрезки – сторонами. Обозначается треугольник его вершинами, а вместо длинного слова треугольник рисуют символ Δ.

Давайте теперь подробнее рассмотрим разновидности треугольников.

1. Равнобедренный треугольник – это такой треугольник, который имеет две одинаковые стороны, которые еще называют боковыми, третья сторона, отличная от тех двух, называется основанием.
2. Равносторонний треугольник – треугольник с одинаковыми сторонами, также его иногда называют правильным треугольников.
3. Прямоугольный треугольник – треугольник, который имеет прямой угол (90 градусов).
4. Остроугольный треугольник – треугольник, у которого все углы острые (то есть меньше 90 градусов).
5. Тупоугольный треугольник – треугольник, у которого один из углов тупой (то есть больше 90 градусов).

В принципе запомнить особенности каждого из вида треугольников легко, так каких названия говорят сами за себя.

Возьмем, к примеру, треугольник АВС. А, В, С являются его вершинами, а АВ, ВС и АС -соответственно его стороны.

Теперь рассмотрим строение данного треугольника более подробно. Угол треугольника АВС при вершине А – это угол, который образовался полупрямыми АВ и АС. Аналогично мы можем определить углы, которые лежат при вершине В и при вершине С.

Высота треугольника – это перпендикуляр, который опускается из заданной вершины к прямой, которая противоположна вершине.

Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла данного треугольника, который соединяет вершину с точкой на противолежащей стороне.

Медиана треугольника, которая проводится из заданной вершины, является отрезок, соединяющий данную вершину с серединой противоположной стороны треугольника.

Средняя линия треугольника – это отрезок, который соединяет середины двух сторон данного треугольника. К этому обозначению также есть определенная теорема, которая говорит о том, что средняя линия треугольника всегда параллельна третьей стороне, а также равна ее половине.

Все эти обозначения (медиана, биссектриса, высота, средняя линия треугольника) обязательно понадобятся в решении практических задач. Скажем более того, без знания свойств этих вершин вы вряд ли сможете решить хоть какую-либо задачу, связанную с треугольниками.

Треугольники

Обозначения

A, B, C - вершины; α, β, γ - углы; a, b, c - стороны, противолежащие углам α, β, γ (вершинам А, В, С) соответственно; h   a , h   b , h   c - высоты, опущенные на стороны a, b, c соответственно; m   a , m   b , m   c - медианы; l   a , l   b , l   c - биссектрисы; R - радиус описанной окружности; r - радиус вписанной окружности.

Формулы вычисления площади треугольника

S = 1 2 ah   a = 1 2 bh   b = 1 2 ch   c

S = 1 2 absinγ = 1 2 acsinβ = 1 2 bcsinα

S = √ p(p - a)(p - b)(p - c)      (периметр p = 1 2 (a + b + c) )

S = rp;      S = abc 4R

Формулы вычисления медианы, биссектрисы, высоты через стороны треугольника

m 2 a = 2b 2   + 2c 2   - a 2   4

l 2 a = bc((b + c) 2   - a 2   ) (b + c) 2

h 2 a = 4p(p - a)(p - b)(p - c) a 2

Отношения высот и сторон треугольника

h   a : h   b : h   c = 1 a : 1 b : 1 c

Теорема косинусов

a 2   = b 2   + c 2   - 2bccosα

b 2   = a 2   + c 2   - 2accosβ

c 2   = a 2   + b 2   - 2abcosγ

Теорема синусов

a    sinα =    b    sinβ =    c    sinγ = 2R

Теорема тангенсов (формулы Региомонтана)

a + b a - b = tg α + β 2 = ctg γ 2 tg α - β 2 tg α - β 2

a + c a - c = tg α + γ; 2 = ctg β 2 tg α - γ 2 tg α - γ 2

b + c b - c = tg β + γ 2 = ctg α 2 tg β - γ 2 tg β - γ 2

Теорема Пифагора

c 2   = a 2   + b 2      (∠C = 90°) R = c 2 = m   c a   c = a a c b   c = b b c b   c = h h a   c

Площадь прямоугольного треугольника

S = 1 2 ab = 1 2 hc (∠C = 90°)

Равносторонний треугольник

S = a 2   √ 3 4      h = a √ 3 2 R = 2r R = a √ 3     r = a √ 3 3 6

Решение треугольников

Прямоугольный треугольник

a = c * sinα      b = c*cosα

a = b * tgα      b = a*ctgα

c =    a    sinα        c =    b    cosα

Произвольный треугольник

a = b sinα sinβ        b = c sinβ sinγ

a = c sinα sinγ        c = a sinγ sinα

b = a sinβ sinα        c = b sinγ sinβ

a = b*cosγ + c*cosβ

b = c*cosα + a*cosγ

c = a*cosβ + b*cosα

tgα =    asinγ    b - acosγ

sin α 2 = √ (p - b)(p - c) bc

cos α 2 = √ p(p - a) bc

tg α 2 = √ (p - b)(p - c) p(p - a)