В математике и физике, вектор является величиной, которая характеризуется своим направлением, а также численным значением. Когда же используются векторы и зачем они нужны? Векторы используют для записи тех величин, которые обыкновенными числами записать невозможно. Допустим, нам необходимо описать положение предмета относительно некоторой точки. Разумеется, мы можем вычислить расстояние между точкой и предметов и записать его обыкновенным числом, но это не будет полной характеристикой. А вот если мы запишем данную величину вектором, то помимо расстояния, мы будем еще знать направление, в котором данный предмет находится относительно заданной точки.
Графически все векторы изображаются, как направленные отрезки определенной заданной длины.
Что же такое свободные векторы? По-другому свободные векторы можно еще назвать и равными. Это такие векторы, у которых совпадает, как модульная величина (то есть отрезок по значению одинаковый), так и направление.
А теперь поговорим не много о действиях над векторами. Зачем вообще придумали слаживать вектора? На самом-то деле, просто решили, что можно вывести один вектор, который бы оказывал тоже воздействие, что и два других вектора. Как вы догадались, два других вектора, это наши слагаемые, а один вектор, который оказывает такое же воздействие – это наша сумма. Вектора складываются несколькими способами, в математики они называются «правилами». Первый – «правило треугольника», второй – «правило «параллелограмма». Стоит отметить и то, что мы можем сложить и три, и четыре , и пять векторов, но делать это надо постепенно, то есть попарно.
Векторы |
Координаты вектора с началом в точке A(x | 1 | , y | 1 | , z | 1 | ) |
|
и концом в точке B(x | 2 | , y | 2 | , z | 2 | ) |
|
→ AB | (x | 2 | - x | 1 | , y | 2 | - y | 1 | , z | 2 | - z | 1 | ) |
|
Координаты суммы векторов | → a | (x | 1 | , y | 1 | , z | 1 | ) и | → b | (x | 2 | , y | 2 | , z | 2 | ) |
|
→ a | + | → b | = | → c | (x | 1 | + x | 2 | , y | 1 | + y | 2 | , z | 1 | + z | 2 | ) |
|
Свойства сложения векторов |
|
( | → a | + | → b | ) + | → c | = | → a | + ( | → b | + | → c | ) |
|
|
|
Координаты произведения вектора на число |
λ * | → a | (x, y, z) = | → c | (λx, λy, λz) |
|
Свойства умножения |
|
|
|
|
Скалярное произведение векторов |
→ a | (x | 1 | , y | 1 | , z | 1 | ) и | → b | (x | 2 | , y | 2 | , z | 2 | ) |
|
→ a | * | → b | = x | 1 | x | 2 | + y | 1 | y | 2 | + z | 1 | z | 2 | = | | → a | | * | | → b | | * cos( | → a | , | → b | ) |
|
Косинус угла между векторами |
→ a | (x | 1 | , y | 1 | , z | 1 | ) и | → b | (x | 2 | , y | 2 | , z | 2 | ) |
|
| = | | = | | √ | x | 2 1 | + y | 2 1 | + z | 2 1 | * | √ | x | 2 2 | + y | 2 2 | + z | 2 2 |
|
|
|
Свойства скалярного произведения |
|
|
|
→ a | ( | → b | + | → c | ) = | → a | * | → b | + | → a | * | → c |
|
|
Длина вектора | → a | (x, y, z) |
|
|