Добавить задачу

Элементы векторной алгебры

Векторы, с которыми мы сталкивались в школе, приняли новый облик и поделились с нами новыми возможностями.

Элементы векторной алгебры

Сумма векторов →
a
 		 = {a 
x		, a 
y		, a 
z		} и →
b
 		 = {b 
x		, b 
y		, b 
z		}
→
a
 		 + →
b
 		 = {a 
x		 + b 
x		, a 
y		 + b 
y		, a 
z		 + b 
z		}

Свойства сложения
→
a
 		 + →
b
 		 = →
b
 		 + →
a
 
(→
a
 		 + →
b
 		) + →
c
 		 = →
a
 		 + (→
b
 		 + →
c
 		)
(→
a
 		 + →
0
 		) = →
a
 
→
a
 		 + (-→
a
 		) = →
0
 
Умножение вектора →
a
 		 = {a 
x		, a 
y		, a 
z		} на число λ
λ→
a
 		 = {λa 
x		, λa 
y		, λa 
z		}
Длина вектора →
a
 		 = {a 
x		, a 
y		, a 
z		}
 
|→
a
 		| = √a2
x		 + a2
y		 + a2
z
Скалярное произведение векторов →
a
 		 и →
b
 
→
a
 		*→
b
 		 = abcosφ ,
где φ = ∠ (→
a
 		,→
b
 		).
Если →
a
 		 = {a 
x		, a 
y		, a 
z		} и →
b
 		 = {b 
x		, b 
y		, b 
z		}, то
→
a
 		→
b
 		 = a 
x		b 
x		 + a 
y		b 
y		 + a 
z		b 
z

Угол между векторами {a 
x		, a 
y		, a 
z		} и {b 
x		, b 
y		, b 
z		}
cosφ
 =
a 
x		b 
x		 + a 
y		b 
y		 + a 
z		b 
z
√(a2
x		 + a2
y		 + a2
z		)(b2
x		 + b2
y		 + b2
z		)
Векторы →
a
 		 и →
b
 		 ортогональны, если →
a
 		→
b
 		 = 0.
Векторное произведение векторов →
a
 		 и →
b
 
→
c
 		 = →
a
 		 x →
b
 		 ,
где →
c
 		 ⊥ →
a
 		, →
c
 		 ⊥ →
b
 		 и c = absinφ   (φ = ∠(→
a
 		, →
b
 		)),
причем →
a
 		, →
b
 		, →
c
 		 - правая тройка.
Если →
a
 		 = {a 
x		, a 
y		, a 
z		} и →
b
 		 = {b 
x		, b 
y		, b 
z		}, то
→
a
 		→
b
 		 = |→
i
  →
j
  →
k
| ,
a 
x
  
a 
y
  
a 
z
b 
x
  
b 
y
  
b 
z
где →
i
, →
j
 и →
k
 - единичные векторы (орты), направленные
по соответствующим осям координат.

Свойства векторного произведения
→
a
 		 x →
a
 		 = 0
→
a
 		 x →
b
 		 = -→
b
 		 x →
a
 
(λ→
a
 		) x →
b
 		 = λ(→
a
 		 x →
b
 		)
→
a
 		 x (λ→
b
 		) = λ(→
a
 		 x →
b
 		)
(λ→
a
 		) x (μ→
b
 		) = λμ(→
a
 		 x →
b
 		)
(→
a
 		 + →
b
 		) x →
c
 		 = →
a
 		 x →
c
 		 + →
b
 		 x →
c
 
→
c
 		 x (→
a
 		 + →
b
 		) = →
c
 		 x →
a
 		 + →
c
 		 x →
b
 
(→
a
 		 + →
b
 		) x (→
a
 		 - →
b
 		) = →
a
 		 x →
a
 		 - →
a
 		 x →
b
 		 + →
b
 		 x →
a
 		 - →
b
 		 x →
b
 

Смешанное произведение
→
a
 		→
b
 		→
c
 		 = (→
a
 		 x →
b
 		) * →
c
 
представляет собой объем (со знаком) параллелепипеда,
построенного на векторах →
a
 		, →
b
 		, →
c
 

Если →
a
 		 = {a 
x		, a 
y		, a 
z		}, →
b
 		 = {b 
x		, b 
y		, b 
z		}
и →
c
 		 = {c 
x		, c 
y		, c 
z		}, то
→
a
 		→
b
 		→
c
 		 = |
a 
x
  
a 
y
  
a 
z
|
b 
x
  
b 
y
  
b 
z
c 
x
  
c 
y
  
c 
z

Свойства смешанного произведения
→
a
 		→
b
 		→
c
 		 = →
b
 		→
c
 		→
a
 		 = →
c
 		→
a
 		→
b
 		 = -(→
b
 		→
a
 		→
c
 		) = -(→
a
 		→
c
 		→
b
 		) = -(→
c
 		→
b
 		→
a
 		)
(→
a
 		 + →
b
 		)→
c
 		→
d
 		 = →
a
 		→
c
 		→
d
 		 + →
b
 		→
c
 		→
d
 
(λ→
a
 		)→
b
 		→
c
 		 = λ(→
a
 		→
b
 		→
c
 		)
→
a
 		→
a
 		→
b
 		 = 0

Площадь параллелограма, построенного на
→
a
 		 = {a 
x		, a 
y		, a 
z		} и →
b
 		 = {b 
x		, b 
y		, b 
z		}
 
S = √|
a 
y
 
a 
z
|2
 		 + |
a 
z
 
a 
x
|2
 		 + |
a 
x
 
a 
y
|2
 
b 
y
 
b 
z
b 
z
 
b 
x
b 
x
 
b 
y