Добавить задачу

Матрица

Матрица представляет собой математический объект, который записывается в виде прямоугольной таблицы элементов поля. Это поле представляет совокупность столбцов и строк, на пересечении которых ее элементы и находятся. Размер задает количество столбцов и строк матрицы.

В математике матрицы широко применяются для компактной записи линейных систем дифференциальных или алгебраических уравнений. В таком случае, числу уравнений будет соответствовать число строк матрицы, а количество столбцов соответствует числу неизвестных. В итоге, к операциям над ними сводится и решение систем линейных уравнений.

Допускаются следующие алгебраические операции: сложение матриц, которые имеют одинаковый размер; умножение подходящих по размеру и умножение на элемент основного поля или кольца. Абелевая группа образуется при сложении, а модуль над определенным кольцом образуется при умножении на скаляр.

Матрицу можно рассматривать в качестве линейного оператора: свойствам линейного оператора соответствуют и её свойства. Математика рассматривает большое количество различных видов и типов матриц: симметричная, единичная, верхнетреугольная и кососимметричная.

Всевозможные нормальные формы в теории занимают особое значение, так как к каноническому виду матрицу можно привести простой заменой координат. В теоретическом значении наиболее важной и проработанной считается теория нормальных жордановых форм.

Матрицы


Сложение матриц
A + B =
a 
11
  
a 
12
 ... 
a 
1n
 +
b 
11
  
b 
12
 ... 
b 
1n
 =
a 
21
  
a 
22
 ... 
a 
2n
b 
21
  
b 
22
 ... 
b 
2n
*
*
a 
m1
  
a 
m2
 ... 
a 
mn
b 
m1
  
b 
m2
 ... 
b 
mn
=
a 
11		 + b 
11
  
a 
12		 + b 
12
 ... 
a 
1n		 + b 
1n
a 
21		 + b 
21
  
a 
22		 + b 
22
 ... 
a 
2n		 + b 
2n
*
a 
m1		 + b 
m1
  
a 
m2		 + b 
m2
 ... 
a 
mn		 + b 
mn

Умножение матрицы на число
λA = λ
a 
11
  
a 
12
 ... 
a 
1n
 =
λa 
11
  
λa 
12
 ... 
λa 
1n
a 
21
  
a 
22
 ... 
a 
2n
λa 
21
  
λa 
22
 ... 
λa 
2n
*
*
a 
m1
  
a 
m2
 ... 
a 
mn
λa 
m1
  
λa 
m2
 ... 
λa 
mn

Умножение матриц
AB =
a 
11
  
a 
12
 ... 
a 
1n
  * 
b 
11
  
b 
12
 ... 
b 
1k
 =
a 
21
  
a 
22
 ... 
a 
2n
b 
21
  
b 
22
 ... 
b 
2k
*
*
a 
m1
  
a 
m2
 ... 
a 
mn
b 
m1
  
b 
m2
 ... 
b 
mk
=
c 
11
  
c 
12
 ... 
c 
1k
 = C ,
c 
21
  
c 
22
 ... 
c 
2k
*
c 
m1
  
c 
m2
 ... 
c 
mk
где c 
ij		 = a 
i1		b 
1j		 + a 
i2		b 
2j		 + ... + a 
in		b 
nj		 = n
∑
v = 1		a 
iv		b 
vj
(i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., k)

Единичная матрица
1  0...0
0  1...0
*
0  0...1

Обратная матрица (A-1
 		)
A-1
 		A = AA-1
 		 = E
A-1
 		 =
A 
11
d
  
A 
21
d
 ... 
A 
m1
d
 ,
A 
12
d
  
A 
22
d
 ... 
A 
m2
d
*
A 
1n
d
  
A 
2n
d
 ... 
A 
mn
d
где d - определитель матрицы A; A 
ij		 -
алгебраическое дополнение её элемента a 
ij

Транспонирование матрицы - преобразование, при котором её строки
становятся столбцами, а столбцы - строками с теми же самыми номерами.
A' - матрица, транспонированная по отношению к матрице A.
A' =
a 
11
  
a 
21
 ... 
a 
m1
  , если A =
a 
11
  
a 
12
 ... 
a 
1n
a 
12
  
a 
22
 ... 
a 
m2
a 
21
  
a 
22
 ... 
a 
2n
*
*
a 
1n
  
a 
2n
 ... 
a 
mn
a 
m1
  
a 
m2
 ... 
a 
mn