Кратный интеграл

Кратный интеграл (многократный интеграл) в математическом анализе называется множество интегралов, которые взяты от переменных d>1. Однако имеется и одна особенность – кратный интеграл представляет собой определенный интеграл, при вычислении которого в результате всегда получается число.

Кратным интеграл можно разбить на подмножества попарно непересекающихся, в также на мелкость разбиения. Такое разбиение называется конечным, если множество также является конечным, а также может быть измеримым, Если множества измеримые (по Жардану).

Кратным интегралом (n-кратным) функции называется число (при его существовании), всегда найдется разбиение множества, а также промежуточных точек, в результате чего всегда будет попадать в окрестность сумма произведений на длину соответствующего отрезка разбиения произведений значений функции в любой промежуточной точке. Данное определение сформировать можно и в интегральной сумме.

Кратным интегралом функции также называют и предел, когда он существует. Берется предел по большинству всех разбиений по последовательности, когда мелкость стремиться к значению 0. Естественно, такое определение отличается от предыдущего, но только используемыми терминами.

В векторном виде интеграл обозначается буквой «G», либо ставят интеграла значок dраз и записывается функция, а также dдифференциалов. Но в современных физических и математических статьях использование многократное повторение знака интеграла не применяется. В настоящее время кратный интервал имеет название интеграла в собственном смысле. Если интеграл n= 1, то кратный интеграл с интегралом Римана совпадает.

Кратные интегралы

Двойной интеграл от функции f(x , y), распространенный на область S

S f(x, y)dS =   lim d → 0 n ∑ i = 1 f(x   i , y   i )ΔS   i  ,

где (x   i , y   i )  ∈  ΔS   i (i = 1, 2, ..., n),

d - наибольший диаметр ячеек ΔS   i .

Если f(x, y) ≥ 0, то двойной интеграл геометрически представляет собой объем прямого цилиндроида, построенного на основании S и ограниченного сверху поверхностью z = f(x, y).

Если область интегрирования S стандартна относительно оси Oy и a ≤ x ≤ b,

y   1 (x) ≤ y ≤ y   2 (x), где y   1 (x), y   2 (x) -

непрерывные функции, то двойной интеграл

в прямоугольных декартовых координатах от непрерывной функции f(x, y) выражается формулой

S f(x, y)dx dy = b a dx y   2 (x) y   1 (x) f(x, y)dy

Двойной интеграл в полярных координатах φ и r

S f(x, y)dS =   S f(r cosφ, r sinφ)rdφdr ,

где x = r cosφ,   y = r sinφ

Если область интегрирования S определяется неравенствами

α ≤ β, r   1 (φ) ≤ r ≤ r   2 (φ), то

S f(x, y)dS = β α dφ r   2 (φ) r   1 (φ) r f(r cosφ, r sinφ)dr

Если ρ = ρ(x, y) - поверхностная плотность пластинки S, то масса пластинки

m =   S ρ(x, y)dS =   S ρdx dy

Площадь пластинки

S =   S dS =   S dx dy

Статические моменты пластинки S относительно координатных осей Ox и Oy

S   x =   S ρy dS,     S   y =   S ρx dS ,

где ρ = ρ(x, y) - поверхностная плотность пластинки S

Координаты центра масс пластинки S определяются формулами

x   0 = S   y m    , y   0 = S   x m    ,

где m - масса пластинки.

Моменты инерции пластинки S относительно координатных осей Ox и Oy

I   x =   S ρy 2   dS,     I   y =   S ρx 2   dS ,

где ρ = ρ(x, y) - поверхностная плотность пластинки.

Тройной интеграл от функции f(x, y, z), распросраненный на область V

V f(x, y, z)dV =   lim d → 0 n ∑ i = 1 f(x   i , y   i , z   i )ΔV   i  ,

где (x   i , y   i , z   i )  ∈  ΔV   i (i = 1, 2, ..., n),

d - наибольший диаметр ячеек ΔV   i

Если f(x, y, z) есть плотность в точке (x, y, z), то тройной интеграл представляет собой массу, заполняющую объем V.

Объем тела

V =   V dV =   V dx dy dz

Если область интегрирования V определяется неравенствами a ≤ x ≤ b,

y   1 (x) ≤ y ≤ y   2 (x), z   1 (x, y) ≤ z ≤ z   2 (x, y) ,

где y   i (x), z   i (x, y) (i = 1, 2) -

непрерывные функции, то тройной интеграл в прямоугольных координатах от непрерывной функции f(x, y, z) выражается формулой

V f(x, y, z)dx dy dz = b a dx y   2 (x) dy y   1 (x) z   2 (x. y) f(x, y, z)dz z   1 (x, y)