Криволинейные интегралы

Криволинейные интегралы можно встретить в физике, рассчитывая работу какого либо действия.

Криволинейные интегралы

Криволинейный интеграл первого рода от непрерывной функции f(x, y), взятый по кусочно-гладкой кривой K: x = x(t), y = y(t) (t ∈ [α, β])

K f(x, y)ds = β α f(x(t), y(f)) √ x' 2   (t) + y' 2   (t) |dt|

Если кривая К задана уравнением y = y(x) (a ≤ x ≤ b), то

K f(x, y)ds = b a f(x, y(x)) √ 1 + y' 2   (x) dx

Криволинейный интеграл второго рода от пары непрерывных функций X(x, y) , Y(x, y), взятый по кусочно-гладкому пути K: x = x(t), y = y(t) (t ∈ [α, β])

K X(x, y)dx + Y(x, y)dy = β α (X(x(t), y(t)) x'(t) + Y(x(t), y(t))y')dt

Физически криволинейный интеграл второго рода представляет собой работу переменной силы F = {X(x, y), Y(x, y)} вдоль пути K

Если путь K задан уравнением y = y(x) (x ∈ [α, β]), то

K X(x, y)dx + Y(x, y)dy = b a (X(x, y(x)) + Y(x, y(x))y'(x))dx

Если выполнено условие

X(x, y)dx + Y(x, y)dy = dU(x, y),

то криволинейный интеграл второго рода не зависит от пути интегрирования К и

K X(x, y)dx + Y(x, y)dy =

= U(x, y) (x   2 , y   2 )   (x   1 , y   1 ) = U (x   2 , y   2 ) - U(x   1 , y   1 ) ,

где (x   1 , y   1 ) - начальная точка пути, (x   2 , y   2 ) - конечная точка пути.

Физически этот интеграл представляет собой работу силы, имеющей потенциал U(x, y).