Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл от функции – это сумма произвольной постоянной и первообразной для данной функции. Из первообразной функции следует, что неопределенный интеграл – это множество для этой функции всех первообразных. Некоторая первообразная для функции обозначается буквой х, произвольная постоянная обозначается «с», а символом «∫» обозначается сам неопределенный интеграл. Интегрированием функции называется процесс отыскания от функции неопределенного интеграла.

К простейшим свойствам неопределенного интеграла относят:

• производную от неопределенного интеграла по переменной интегрирования, которая равна подынтегральной функции;
• от неопределенного интеграла дифференциал равен подынтегральному выражению;
• от производной от некоторой функции неопределенный интеграл равен сумме произвольной постоянной и данной функции. В результате этого сумма произвольной постоянной и дифференцируемой функции равна неопределенному интегралу от данной функции и от производной;
• от дифференциала некоторой функции неопределенный интеграл равен сумме постоянной произвольной и данной функции.

Теоремой неопределенного интеграла является следующее:

• от суммы функций неопределенный интеграл равен сумме от слагаемых неопределенных интегралов;
• имеющийся постоянный множитель за знак неопределенного интеграла можно выносить. В связи с такой совокупностью равенств, возникло название – свойство линейности неопределенного интеграла. Любое доказательство таких равенств сводится к одному – к определению неопределенного интеграла, а также к соответствующей формуле, содержащейся в таблице производных;
• возможность замены в неопределенном интеграле переменной;
• возможность в неопределенном интеграле интегрирования по частям.

Неопределенный интеграл

Определение неопределенного интеграла

f(x)dx = F(x) + C

где F'(x) = f(x),    C = const

Если dy = f(x)dx, то y = f(x)dx

Основные свойства неопределенного интеграла

d f(x)dx = f(x)dx

( f(x)dx )' = f(x)

dF(x) = F(x) + C

kf(x)dx = k f(x)dx   (k ≠ 0)

(f(x) + g(x) - h(x))dx = f(x)dx + g(x)dx - h(x)dx

Основные методы интегрирования

---метод разложения---

f(x)dx = f   1 (x)dx + f   2 (x)dx ,

где f(x) = f   1 (x) + f   2 (x)

---метод подстановки---

Если x = φ(t), то     f(x)dx = f(φ(t))φ'(t)dt

---метод интегрирования по частям---

udV = uV - Vdu

Интегралы некоторых функций

x m   dx = x m + 1   m + 1   + C    (m ≠ -1)

dx x = ln|x| + C     (x ≠ 0)

e x   dx = e x   + C

a x   dx = a x   ln(a)   + C    (a > 0, a ≠ 1)

cos(x)dx = sinx + C

sin(x)dx = -cosx + C

dx cos 2   x = tgx + C

dx sin 2   x = -ctgx + C

dx √ 1 - x 2   = arcsinx + C = -arccosx + C   1

dx 1 + x 2   = arctgx + C = -arcctgx + C   1

dx 1 - x 2   =  1  2 ln  1 + x  1 - x + C

dx x 2   - 1 =  1  2 ln  x - 1  x + 1 + C