Таблица неопределенных интегралов

Таблица неопределенных интегралов очень удобна тем, кто постоянно сталкивается с вычислением и решением интегралов. Составление списка интегралов впервые опубликовал в 1810 году немецкий математик Мейер Хирш. Данные таблицы в последующем переиздавались и дополнялись. Алгоритм Риша существует с 1968 года, который определяет неопределенные интегралы, которые выражены могут быть в терминах элементарных функций с использованием компьютерной алгебры. Интегралы, которые выразить при помощи элементарных функций не возможно, можно манипулировать символически, используя общие функции.

Таблица неопределенных интегралов также представлена и в Интернете, с которой можно ознакомиться подробнее.

Неопределенные интегралы содержат иррациональные и рациональные выражения. К ним относят следующие интегралы:

содержащие ax+b;
содержащие квадратный корень из первого интеграла;
содержащие px+q и ax+b, а также содержащие из него квадратный корень;
содержащие квадратный корень из px+q и квадратный корень из ax+b;
содержащие х²+а², а также содержащие из него квадратный корень;
содержащие х²-а² и содержащие из него квадратный корень;
содержащие а²-х² и содержащие квадратный корень из него;
содержащие ax² + bx + c и квадратный корень из него;
содержащие хⁿ + аⁿ либо хⁿ – аⁿ.

Также таблица неопределенных интегралов содержит и интегралы тригонометрических функций: синус, тангенс, косинус, котангенс, косинус и синус и в обратные тригонометрические функции.

Неопределенные интегралы содержат гиперболические функции, которые содержат гиперболический косинус и синус, гиперболический косинус, гиперболический синус, гиперболический тангенс, а также котангенс и обратные гиперболические функции.

Таблица неопределенных интегралов

Функции, содержащие a + bx в целой степени

∫

dx
a + bx

1
b

ln|a + bx| + C

∫

(a + bx)

dx =

(a + bx)	n + 1
b(n + 1)

+ C , n ≠ -1

∫

xdx
1 + bx

1
b	2

(a + bx - a*ln|a + bx|) + C

∫

x	2	dx
a + bx

1
b	2

(

1
2

(a + bx)

- 2a(a + bx) + a

ln|a + bx|

)

+ C

∫

dx
x(a + bx)

= -

1
a

a + bx
x

+ C

∫

dx
x	2	(a + bx)

= -

1
ax

b
a	2

a + bx
x

+ C

∫

xdx
(a + bx)	2

1
b	2

(ln|a + bx| +

a + bx

) + C

∫

(a + bx)

1
b	2

(a + bx - 2a * ln|a + bx| -

a	2
a + bx

) + C

∫

dx
x(a + bx)	2

a(a + bx)

1
a	2

a + bx
x

+ C

10)

∫

dx
x	2	(a + bx)	2

= -b(

1
a	2	(a + bx)

1
a	2	bx

2
a	3

a + bx
x

) + C

11)

∫

xdx
(a + bx)	3

1
b	2

( -

a + bx

a
2(a + bx)	2

) + C

12)

∫

dx
x(a + bx)	3

= -

1
a	3

(

a + bx
x

2bx

a + bx

2(a + bx)

) + C

Функции, содержащие a

+ x

, a

- x

, a + bx

∫

dx
1 + x	2

= arctgx + C

∫

dx
a	2	+ x	2

1
a

arctg

x
a

+ C

∫

dx
a	2	- x	2

1
2a

a + x
a - x

+ C

1
2a

x + a
x - a

+ C

∫

dx
a + bx	2

1
√	ab

arctg(x

√

b
a

) + C при a > 0 и b > 0

Если a и b отрицательны, то знак "−" выносится за интеграл,
а если a и b разных знаков, то использовать следущую формулу (№5)

∫

dx
a - bx	2

1
2	√	ab

√

+ x

√

− x

√

+ C

∫

xdx
a + bx	2

a
b

+ C

∫

a + bx

x
b

a
b

∫

dx
a + bx	2

, затем см. №4 или №5

∫

dx
x(a + bx	2	)

a + bx

+ C

∫

dx
x	2	(a + bx	2	)

= -

b
a

∫

dx
a + bx	2

, затем см. №4 или №5

10)

∫

dx
(a + bx	2	)	2

x
2a(a + bx	2	)

∫

dx
a + bx	2

, затем см. №4 или №5

Функции, содержащие

√

a + bx

∫

√

a + bx

dx =

√

(a + bx)

+ C

∫

√

a + bx

dx = -

2(2a - 3bx)

√

(a + bx)

15b

+ C

∫

√

a + bx

dx =

2(8a

- 12abx + 3b

)

√

(a + bx)

105b

+ C

∫

xdx
√	a + bx

= -

2(2a - bx)

√

a + bx

+ C

∫

√

a + bx

2(8a

- 4abx + 3b

)

√

a + bx

15b

+ C

∫

dx
x	√	a + bx

1
√	a

√

a + bx

√

a + bx

√

+ C , при a > 0

∫

dx
x	√	a + bx

2
√	-a

arctg

√	a + bx
	-a

+ C , при a < 0

∫

dx
x	2	√	a + bx

√

a + bx

b
2a

∫

dx
x	√	a + bx

, затем см. №6 или №7

∫

√	a + bx	dx
x

√

a + bx

+ a

∫

dx
x	√	a + bx

, затем см. №6 или №7

Функции, содержащие

√

+ a

∫

√

+ a

dx =

x
2

√

+ a

1
2

x +

√

+ a

+ C

∫

√

+ a

)

dx =

x
8

(2x

+ 5a

)

√

+ a

3
8

x +

√

+ a

+ C

∫

√

+ a

dx =

1
3

√

+ a

)

+ C

∫

√

+ a

dx =

x
8

(2x

+ a

)

√

+ a

1
8

x +

√

+ a

+ C

∫

√

+ a

x +

√

+ a

+ C

∫

√

+ a

)

√

+ a

+ C

∫

xdx

√

+ a

√

+ a

+ C

∫

√

+ a

x
2

√

+ a

1
2

x +

√

+ a

+ C

∫

√

+ a

)

= −

√

+ a

x +

√

+ a

+ C

10)

∫

√

+ a

1
a

a +

√

+ a

+ C

11)

∫

√

+ a

= −

√

+ a

+ C

12)

∫

√

+ a

= −

√

+ a

1
2a	3

a +

√

+ a

+ C

13)

∫

√

+ a

√

+ a

- a

a +

√

+ a

+ C

14)

∫

√

+ a

= −

1
x

√

+ a

x +

√

+ a

+ C

Функции, содержащие

√

- x

∫

√

- x

arcsinx + C

∫

√

- x

arcsin

x
a

+ C

∫

√

- x

)

√

- x

+ C

∫

xdx

√

- x

= −

√

- x

+ C

∫

xdx

√

- x

)

√

- x

+ C

∫

√

- x

= −

x
2

√

- x

1
2

arcsin

x
a

+ C

∫

√

- x

dx =

x
2

√

- x

1
2

arcsin

x
a

+ C

∫

√

- x

)

dx =

x
8

(5a

- 2x

)

√

- x

3
8

arcsin

x
a

+ C

∫

√

- x

dx = −

1
3

√

- x

)

+ C

10)

∫

√

- x

)

dx = −

1
5

√

- x

)

+ C

11)

∫

√

- x

dx =

x
8

(2x

- a

)

√

- x

1
8

arcsin

x
a

+ C

12)

∫

√

- x

)

√

- x

arcsin

x
a

+ C

13)

∫

√

- x

1
a

a +

√

- x

+ C

14)

∫

√

- x

= −

√

- x

+ C

15)

∫

√

- x

= −

√

- x

1
2a	3

a +

√

- x

+ C

16)

∫

√

- x

√

- x

- a

a +

√

- x

+ C

17)

∫

√

- x

= −

1
x

√

- x

arcsin

x
a

+ C

Функции, содержащие

√

- a

∫

√

- a

x +

√

- a

+ C

∫

√

- a

)

= −

√

- a

+ C

∫

xdx

√

- a

√

- a

+ C

∫

√

- a

dx =

x
2

√

- a

1
2

x +

√

- a

+ C

∫

√

- a

)

dx =

x
8

(2x

- 5a

)

√

- a

3
8

x +

√

- a

+ C

∫

√

- a

dx =

1
3

√

- a

)

+ C

∫

√

- a

)

dx =

1
5

√

- a

)

+ C

∫

√

- a

dx =

x
8

(2x

- a

)

√

- a

1
8

x +

√

- a

+ C

∫

√

- a

x
2

√

- a

1
2

x +

√

- a

+ C

10)

∫

√

- a

)

= −

√

- a

x +

√

- a

+ C

11)

∫

√

- 1

arcsecx + C

12)

∫

√

- a

1
a

arcsec

x
a

+ C

13)

∫

√

- a

√

- a

+ C

14)

∫

√

- a

√

- a

1
2a	3

arcsec

x
a

+ C

15)

∫

√

- a

√

- a

- a*arccos

a
x

+ C

16)

∫

√

- a

= −

1
x

√

- a

x +

√

- a

+ C

Функции, содержащие

√

2ax - x

√

2ax + x

Функция, содержащая

√

2ax - x

интегрируется подстановкой t = x - a.

Тогда

√

2ax - x

получает вид

√

- t

, и интеграл находят в группе

для функций, содержащих

√

- x

. Если его в таблице нет,

то стараются привести его к виду, имеющемуся в таблице.

То же можно сказать и о функции, содержащей выражение

√

2ax - x

В этом случае подстановка t = x + a приводит радикал к виду

√

- a

Функции, содержащие a + bx + cx

(c > 0)

∫

dx
a + bx + cx	2

{

√

4ac - b

arctg

2cx + b

√

4ac - b

+ C , если b

< 4ac

√

- 4ac

2cx + b −

√

- 4ac

2cx + b +

√

- 4ac

+ C , если b

> 4ac

∫

√

a + bx + cx

1
√	c

2cx + b + 2

√

a + bx + cx

+ C

∫

√

a + bx + cx

dx =

2cx + b

√

a + bx + cx

−

- 4ac

√

2cx + b + 2

√

a + bx + cx

+ C

∫

xdx

√

a + bx + cx

√

a + bx + cx

−

√

2cx + b + 2

√

a + bx + cx

+ C

Функции, содержащие a + bx - cx

(c > 0)

∫

dx
a + bx - cx	2

√

+ 4ac

√

+ 4ac

+ 2cx - b

√

+ 4ac

- 2cx + b

+ C

∫

√

a + bx - cx

1
√	c

arcsin

2cx - b

√

+ 4ac

+ C

∫

√

a + bx - cx

dx =

2cx - b

√

a + bx - cx

+ 4ac

√

arcsin

2cx - b

√

+ 4ac

+ C

∫

xdx

√

a + bx - cx

= −

√

a + bx - cx

√

arcsin

2cx - b

√

+ 4ac

+ C

Другие алгебраические функции

∫

√

a + x
b + x

dx =

√

(a + x)(b + x)

+ (a - b)ln

√

a + x

√

b + x

+ C

∫

√

a - x
b + x

dx =

√

(a - x)(b + x)

+ (a + b)arcsin

√

x + b
a + b

+ C

∫

√

a + x
b - x

dx = −

√

(a + x)(b - x)

- (a + b)arcsin

√

b - x
a + b

+ C

∫

√

1 + x
1 - x

dx = −

√

1 - x

+ arcsinx + C

∫

√

(x - a)(b - x)

2arcsin

√

x - a
b - a

+ C

Показательные и тригонометрические функции

∫

dx =

a	x
ln(a)

+ C

∫

dx =

+ C

∫

dx =

e	ax
a

+ C

∫

sinx dx = -cosx + C

∫

cosx dx = sinx + C

∫

tgx dx = -ln|cosx| + C

∫

ctgx dx = ln|sinx| + C

∫

secx dx = ln|secx + tgx| + C = ln

tg(

π
4

x
2

)

+ C

∫

cosecx dx = ln|cosecx - ctgx| + C = ln

x
2

+ C

10)

∫

sec

x dx = tgx + C

11)

∫

cosec

x dx = -ctgx + C

12)

∫

secx*tgx dx = secx + C

13)

∫

cosecx*ctgx dx = -cosecx + C

14)

∫

sin

x dx =

x
2

1
4

sin2x + C

15)

∫

cos

x dx =

x
2

1
4

sin2x + C

16)

∫

sin

x dx = −

sin	n - 1	x * cosx
n

n - 1
n

∫

sin

n - 2

x dx

Эта формула применяется несколько раз, пока не приведет к интегралу

∫

sinx dx или

∫

sin

x dx

(в зависимости от n, четное или нечетное), затем №4 или №14.

17)

∫

cos

x dx =

cos	n - 1	x * sinx
n

n - 1
n

∫

cos

n - 2

x dx

Аналогично предыдущему интегралу, затем №5 или №15.

18)

∫

dx
sin	n	x

= −

1
n - 1

cosx
sin	n - 1	x

n - 2
n - 1

∫

dx
sin	n - 2	x

Эта формула применяется несколько раз, пока не приведет к интегралу

∫

dx или

∫

dx
sinx

(в зависимости от n, четное или нечетное), затем №9.

19)

∫

dx
cos	n	x

1
n - 1

sinx
cos	n - 1	x

n - 2
n - 1

∫

dx
cos	n - 2	x

Аналогично предыдущему интегралу, затем №8.

20)

∫

sinx * cos

x dx = −

cos	n + 1	x
n + 1

+ C

21)

∫

sin

x * cosx dx =

sin	n + 1	x
n + 1

+ C

22)

∫

sin

x * cos

x dx =

cos	m - 1	x *	sin	m + 1	x
m + n

m - 1
m + n

∫

sin

x * cos

m - 2

x dx

Применяется несколько раз, пока степень косинуса не будет равна нулю (если m - четное)
или единице (если m - нечетное). В первом случае см.№16, во втором - №21.
Этой формулой следует пользоваться, когда m < n. Если m > n, то лучше пользоваться №23.

23)

∫

sin

x * cos

x dx = −

cos	m + 1	x *	sin	n - 1	x
m + n

n - 1
m + n

∫

sin

n - 2

x * cos

x dx

Аналогично предыдущему интегралу, затем №17 и №20.

24)

∫

sin(mx)sin(nx)dx = −

sin(m + n)x
2(m + n)

sin(m - n)x
2(m - n)

+ C , (m ≠ n).

25)

∫

cos(mx)cos(nx)dx =

sin(m + n)x
2(m + n)

sin(m - n)x
2(m - n)

+ C , (m ≠ n).

26)

∫

sin(mx)cos(nx)dx = −

cos(m + n)x
2(m + n)

−

cos(m - n)x
2(m - n)

+ C , (m ≠ n).

27)

∫

a + bcosx

√

- b

arctg(

√	a - b a + b

x
2

) + C , если a > b

28)

∫

a + bcosx

√

- a

√

b - a

x
2

√

b + a

√

b - a

x
2

−

√

b + a

+ C , если a < b

29)

∫

a + bsinx

√

- b

arctg

a tg

x
2

+ b

√

- b

+ C , если a > b

30)

∫

a + bsinx

√

- a

a tg

x
2

+ b -

√

- a

a tg

x
2

+ b +

√

- a

+ C , если a < b

31)

∫

dx
a	2	cos	2	x + b	2	sin	2	x

1
ab

arctg(

b tgx
a

) + C

32)

∫

sinx dx =

e	x	(sinx - cosx)
2

+ C

33)

∫

sin(nx) dx =

(a sin(nx) - n cos(nx))

+ n

+ C

34)

∫

cosx dx =

e	x	(sinx + cosx)
2

+ C

35)

∫

cos(nx) dx =

(n sin(nx) + a cos(nx))

+ n

+ C

36)

∫

x e

dx =

(ax - 1) + C

37)

∫

dx =

n
a

∫

n - 1

Формула применяется несколько раз, пока степень х не станет равной единице, затем см. №36

38)

∫

x a

dx =

x a

m ln|x|

m ln

+ C

39)

∫

dx =

n ln(a)

n
m ln(a)

∫

n - 1

Формула применяется несколько раз, пока степень х не станет равной единице, затем см. №38

40)

∫

cos

dx =

cos

n - 1

x(a cosx + n sinx)

+ n

n(n - 1)
a	2	+ n	2

∫

cos

n - 2

Формула применяется несколько раз, пока косинус не исчезнет (если четное n)
или его степень не станет равной единице (если нечетное n), затем см. №35

41)

∫

sh x dx = ch x + C

42)

∫

ch x dx = sh x + C

43)

∫

th x dx = ln|ch x| + C

44)

∫

cth x dx = ln|sh x| + C

45)

∫

sch x dx = 2arctg e

+ C

46)

∫

csch x dx = ln|th

x
2

| + C

47)

∫

sch

x dx = th x + C

48)

∫

csch

x dx = -cth x + C

49)

∫

sch x th x dx = sch x + C

50)

∫

csch x cth x dx = -csch x + C

51)

∫

x dx = −

x
2

1
4

sh2x + C

52)

∫

x dx =

x
2

1
4

sh2x + C

Логарифмические функции

Даются функции, содержащие только натуральный логарифм. Если требуется найти
интеграл от функции, содержащей логарифм при другом основании,
то предварительно переводят его в натуральный по формуле

log

x =

ln(x)
ln(a)

, а затем пользуются таблицей.

∫

ln(x)dx = x ln(x) - x + C

∫

x ln(x)

= ln|ln(x)| + C

∫

ln(x)dx = x

n + 1

(

ln(x)
n + 1

−

1
(n + 1)	2

) + C

∫

(x)dx = x ln

(x) - n

∫

n - 1

(x)dx

Формулу применять до тех пор, пока не получится интеграл

∫

ln(x)dx

, затем №1

∫

(x)dx =

x	m + 1
m + 1

(x) -

n
m + 1

∫

n - 1

(x)dx

Формулу применять до тех пор, пока не получится интеграл №3