Степенные ряды - это числовые ряды, имеющие закономерно меняющиеся степени. Ряд Маклорена является частным случаем ряда Тейлора.
Степенные ряды |
| Ряд Тейлора |
| f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + | | (x - a) | 2
| + ... + | | (x - a) | n
| + ... |
|
Ряд Маклорена |
| f(x) = f(0) + f'(0)x + | | x | 2
| + ... + | | x | n
| + ... |
|
Разложение в степенные ряды основных функций |
1
1 - x | = 1 + x + x | 2
| + ... + x | n
| + ... (|x| < 1) |
|
| ln(1 + x) = x − | | + | | − | | + ... + (−1) | n - 1
| | + ... (-1 < x ≤ 1) |
|
| e | x
| = 1 + x + | | + | | + ... + | | + ... (|x| < + ∞) |
|
| a | x
| = 1 + (ln a)x + | | x | 2
| + | | x | 3
| + ... |
|
| ln(x) = 2( | x - 1
x + 1 | + | 1
3 | ( | x - 1
x + 1 | ) | 3
| + | 1
5 | ( | x - 1
x + 1 | ) | 5
| + ... ) (x > 0) |
|
| arctgx = x − | | + | | − | | + ... + (−1) | n - 1
| | + ... (|x| ≤ 1) |
|
| sinx = x − | | + | | − | | + ... + (−1) | n - 1
| | + ... (|x| < + ∞) |
|
| cosx = 1 − | | + | | − | | + ... + (−1) | n
| | + ... (|x| < + ∞) |
|
| (1 + x) | m
| = 1 + mx + | m(m - 1)
2! | x | 2
| + ... + | m(m - 1)...(m - (n - 1))
n! | x | n
| + ... (|x| < 1) |
|
Ряды в комплексной области |
∞
∑
n = 1 | (U |
n | + iV |
n | ) = | ∞
∑
n = 1 | U |
n | + i | ∞
∑
n = 1 | V |
n |
|
Абсолютная сходимость рядов с комплексными членами. Если ряд |
∞
∑
n = 1 | |U |
n | + iV |
n | | = | ∞
∑
n = 1 | √ | |
|
| сходится, то ряд | ∞
∑
n = 1 | (U |
n | + iV |
n | ) также сходится (абсолютно). |
|
Формулы Эйлера |
| e | ix
| = cosx + i sinx, e | -ix
| = cosx - i sinx |
|