Тригонометрические функции являются неотъемлемой частью тригонометрии, поэтому знание этих функций очень важно. Но на чем основываются эти функции? Конечно же, на тригонометрических тождествах.
Давайте разберемся, что же такое тождество вообще? Самое простое определение, это, конечно же, сходство. Если «копнуть» глубже, то мы можем говорить о том, что тождество – отношение между некоторыми предметами (реальными или абстрактными), что позволяет говорить об их неотличимости в каких-то характеристиках. На самом деле такое определение к тригонометрии подходит, ведь в каких-то характеристиках наши функции действительно схожи и неотъемлемы друг от друга.
Давайте подробнее рассмотрим каждое тригонометрическое тождество.
Соотношение синуса и косинуса одного и того же угла – именно это тригонометрическое тождество и является основным в тригонометрии. Выглядит это тождество следующим образом:
Sin2a +cos2a = 1
Попробуем объяснить, почему это тождество выглядит именно так. Изначально у нас есть прямоугольный треугольник с определенным углом а. Гипотенуза нашего треугольника равна 1. Один катет треугольника – это косинус, а другой – синус. Теперь применяем к нашему треугольнику теорему Пифагора и получаем наше тригонометрическое тождество.
Теперь рассмотрим зависимость между тангенсом и котангенсом. Тут все просто. Произведение тангенса и котангенса равно 1.
Зависимость между тангенсом и косинусом угла выводится очень просто. Для начала берем наше основное тригонометрическое тождество и делим его на квадрат косинуса, потом упрощаем левую часть уравнения и получаем наше третье тождество (при это важно помнить, что деление возможно только в том случае. если косинус не равняется нулю).
Тригонометрические тождества
cos2α + sin2α = 1
|cosα| = √1 - sin2α
|sinα| = √1 - cos2α
tgα * ctgα = 1
| tgα = | 1 ctgα |
| ctgα = | 1 tgα |
| 1 + ctg2α = | 1 sin2α | = cosec2α |
| 1 + tg2α = | 1 cos2α | = sec2α |
Выражения одних тригонометрических функций через другие
| sin(x) = | ||
|---|---|---|
| через cos(x) | ±√1 - cos2x | |
| через tg(x) |
| |
| через ctg(x) |
| |
| через sec(x) |
| |
| через cosec(x) |
|
| cos(x) = | ||
|---|---|---|
| через sin(x) | ±√1 - sin2x | |
| через tg(x) |
| |
| через ctg(x) |
| |
| через sec(x) |
| |
| через cosec(x) |
|
| tg(x) = | ||
|---|---|---|
| через sin(x) |
| |
| через cos(x) |
| |
| через ctg(x) |
| |
| через sec(x) | ±√sec2x - 1 | |
| через cosec(x) |
|
| ctg(x) = | ||
|---|---|---|
| через sin(x) |
| |
| через cos(x) |
| |
| через tg(x) |
| |
| через sec(x) |
| |
| через cosec(x) | ±√cosec2x - 1 |
| sec(x) = | ||
|---|---|---|
| через sin(x) |
| |
| через cos(x) |
| |
| через tg(x) | ±√1 + tg2x | |
| через ctg(x) |
| |
| через cosec(x) |
|
| cosec(x) = | ||
|---|---|---|
| через sin(x) |
| |
| через cos(x) |
| |
| через tg(x) |
| |
| через ctg(x) | ±√1 + ctg2x | |
| через sec(x) |
|